Question

在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,AC=2,BC=根号3,D,E分别为AC1,BB1的中点。求异面直线DE与AC的夹角

Answer 1

取CC1中点F，联结EF，联结并延长FD交AA1于G，联结EG

由于D、F分别是AC1、CC1的中点，所以DF∥AC

则DE与AC的夹角即为DE与DF的夹角，即为∠EDF

 

由于三棱柱侧面ACC1A1是平行四边形，有C1F∥AG

则AG/C1F=AD/DC1=GD/DF=1，所以AG=C1F=CC1/2=AA1/2，则G为AA1中点

而且GD=DF，D是FG中点

由于三棱柱ABC-A1B1C1三个侧面都是平行四边形，即AA1平行等于BB1平行等于CC1

又E、F、G分别是BB1、CC1、AA1中点，有BE平行等于CF平行等于AG

所以四边形BCFE，四边形CAGF，四边形ABEG都是平行四边形

所以EF=BC=√3，FG=AC=2，EG=AB=1

^2是平方

由于EG^2+EF^2=FG^2，所以∠FEG=90°

又EG=FG/2，所以∠DFE=30°

已证D是FG中点，所以ED是斜边上的中线

得DE=FG/2=DF，则∠DEF=∠DFE=30°

所以在△DEF中，∠EDF=180°-∠DEF-∠DFE=180°-30°-30°=120°

即DE与AC的夹角为120°