Question

已知函数fx=(1-x)/ax+inx :

1:fx是(1,+∞)上是增函数,求正实数a的取值范围2:当a=1时在{1/2,2}上的最大值和最小值

Answer 1

1
f(x)=(1-x)/ax+lnx =1/(ax)-1/a+lnx，a是正实数，定义域x>0
f'(x)=1/x-1/(ax^2)，当x=1/a时，f'(x)=0，当0<x<1/a时，f'(x)<0，当x>1/a时，f'(x)>0
所以当x∈[1/a,inf]时，函数是增函数，所以当1/a≤1即a≥1时，满足f(x)是(1,+∞)上是增函数
故a≥1
2
a=1时，f(x)=1/x+lnx-1，此时函数在[1/2,1]上是减函数
在[1,2]上是增函数，故最小值为f(1)=0，f(1/2)=1-ln2，f(2)=ln2-1/2
因为ln2≈0.7，故f(1/2)>f(2)，所以最大值为1-ln2