Question

12,用[x]表示不大于实数x的最大整数，方程lg2x-[lgx]-2=0的实根个数是------个

请问有没有不从作图入手的其他方法，有没有严格的数学语言证明？

Answer 1

因为lg2x=[lgx]+2
右边为整数，所以左边也需为整数，设为k
则lg2x=k=[lgx]+2
2x=10^k
x=1/2*10^k
所以有k=[lgx]+2=[k-lg2]+2=k+2+[-lg2]=k+2-1=k+1, 矛盾。
所以方程没实根。

追问

你好，这题有实根的，有3个，可惜我不知道过程。

追答

那你题目是不是抄错了？lg2x是不是指lg(2x), 而是指(lgx)^2吧？这样的话解法如下：
令t=lgx
则方程为t^2-[t]-2=0
[t]=t^2-2
因为t-10
得：-1=(1+√5)/2 或t<(1-√5)/2
故有 (1+√5)/2<t<=2 或-1=<t<(1-√5)/2
当(1+√5)/2<t<=2时，有[t]=1 或2, 故方程化为：t^2-3=0或t^2-4=0, 得：t=√3或t=2
当-1=<t<(1-√5)/2时，有[t]=-1， 故方程化为：t^2+1-2=0, 得：t=-1
故有三个解t=√3, 2, -1
相应地有x=10^t=10^√3, 100, 0.1