Question

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交双曲线右支于A,B两点

若△ABF1是以B为顶点的等腰三角形,且△AF1F2,△BF1F2的两面积之比S△AF1F2: S△BF1F2=2:1,则双曲线的离心率为?

Answer 1

因在右支,|AF1|>|AF2|,|BF1|>|BF2|
根据双曲线定义,|AF1|-|AF2|=2a,(1)
|BF2|-|BF1|=2a,(2)
(1)+(2)式,|AF1|+|BF1|-(|AF2|+|BF2|=4a,
∵|BF1|=|AB|,|AF2|+|BF2|=|AB|,
∴|AF1|+|BF1|-|BF1|=4a,
∴|AF1|=4a,
|AF2|=4a-2a=2a,
∵△F1F2A和△F1F2B共用高(作F1H⊥AB,垂足H,F1H就是二三角形的共用高),
则二三角形面积之比就等于其底边|AF2|和|BF2|之比,
S△F1F2A/S△F1F2B=|AF2|/|BF2|=2,
∴|BF2|=|AF2|/2=a,
∵|BF1|-|BF2|=2a,
∴|BF1|=3a,
在△F1AB中,根据余弦定理,
cos<F1BA=(F1B^2+BA^2-F1A^2)/(2|F1B|*|BA|)
=(9a^2+9a^2-16a^2)/(2*3a*3a)=1/9,
在△F1F2B中,
根据余弦定理,
F1F2^2=F1B^2+BF2^2-2|F1B|*|BF2|=9a^2+a^2-2*3a*a*1/9
=28a^2/3,
|F1F2|=2√21a/3,
c=|F1F2|/2=√21a/3,
∴离心率e=c/a=√21/3.