Question

设a为实数,函数f(x)=x|x^2-a|的单调区间

Answer 1

分段讨论：
1）a=0, 则f(x)=x*x^2=x^3, 在R上都单调增
2）a>0, 当x>=√a时，或x<=-√a时，f(x)=x(x^2-a)=x^3-ax, f'(x)=3x^2-a>=3a-a=2a>0,
所以在x>=√a及x<=-√a时都是单调增；
当-√a<x<√a时, f(x)=x(-x^2+a)=-x^3+ax, f'(x)=-3x^2+a, 此时有极值点x=√(a/3)及-√(a/3),
即当-√(a/3)=<x<=√(a/3)时，单调增；
当√(a/3)<x<√a ,或-√a<x<-√(a/3)时单调减
3）a<0，f(x)=x(x^2-a)=x^3-ax, f'(x)=3x^2-a>0, 这时在R上都是单调增

Answer 2

本题考查“分类与整合”思想。
1.当a≤0时，
f(x)=x(x²-a)=x³-ax
f'(x)=3x²-a≥0，
所以 f(x)增区间为(-∞，+∞)；
2.当a>0时，
f(x)为分段函数。
f(x)=x(x²-a)=x³-ax，x≥√a或x≤ -√a
f(x)=x(-x²+a)=-x³+ax，-√a<x<√a
①当x≥√a或x≤ -√a时，f'(x)=3x²-a≥3a-a=2a>0
f(x)的增区间为(-∞，-√a)和( √a，+∞);
②当-√a<x<√a时，f'(x)=-3x²+a
令f'(x)=0，解得 x=±√(a/3)
当 -√(a/3)<x<√(a/3)时，f'(x)>0，
所以 f(x)的增区间为(-√(a/3)，√(a/3) )，
同理，减区间为(-√a，-√(a/3))和(√(a/3)，√a)

综上可得，
当a≤0时，f(x)增区间为(-∞，+∞)；
当a>0时，f(x)的增区间为(-∞，-√a)、( √a，+∞)和(-√(a/3)，√(a/3) )，
减区间为(-√a，-√(a/3))和(√(a/3)，√a)

Answer 3

解：当a>0时，
x<-根号a或者x>根号a, f(x)=x(x²-a),f′(x)=3x²-a>0，单调递增
-根号a<x<根号a, f(x)=-x(x²-a), f′(x)=-3x²+a.则-根号a<x<-1/3根号（3a)或者1/3根号（3a)<x<根号a时，f′（x)<0,单调递减；-1/3根号(3a)<x<1/3根号（3a)时，f′（x)>0,单调递增
当a=0时，f(x)=x^3,f′（x)=3x²>=0 ∴x在一切实数上单调递增，0是拐点
当a<0时，f(x)=x(x²-a), f′(x)=3x²-a>0,∴x为任意实数，单调递增

Answer 4

这里要用分段函数来做
1）a=0, 则f(x)=x*x^2=x^3, 在R上都单调增
2）a>0, 当x>=√a时，或x<=-√a时，f(x)=x(x^2-a)=x^3-ax, f'(x)=3x^2-a>=3a-a=2a>0,
所以在x>=√a及x<=-√a时都是单调增；
当-√a<x<√a时, f(x)=x(-x^2+a)=-x^3+ax, f'(x)=-3x^2+a, 此时有极值点x=√(a/3)及-√(a/3),
即当-√(a/3)=<x<=√(a/3)时，单调增；
当√(a/3)<x<√a ,或-√a<x<-√(a/3)时单调减
3）a<0，f(x)=x(x^2-a)=x^3-ax, f'(x)=3x^2-a>0, 这时在R上都是单调增