Question

设数列{an}满足a1=2,a(n+1)=an+1/an（1）求a2,a3,a4（2）比较an与根号(2n+1)的大小，并证明

Answer 1

1、 a2=2+1/2=5/2
a3=5/2+2/5==29/10
a4=29/10+10/29=941/290
2、猜想有an>sqr(2n+1)
下面用数学归纳法来证明
当n=1时显然有a1>sqr(3)
假没当n=k时有ak>sqr(2k+1)
则当n=k+1时
[a(k+1)]^2=(ak+1/ak)^2=(ak)^2+2+1/(ak)^2>ak^2+2>(2k+1)+2=2k+3
因为ak是正项数列
所以a(k+1)>sqr(2k+3)
即ak>sqr(2(k+1)+1)
所以当n=k+1时有ak>sqr(2（k+1)+1）
于是对于任意正整数n都总有an>sqr(2n+1)

Answer 2

解：(1) a2=2+1/2 =5/2
a3=5/2+1/2=3
a4=3+1/2 =7/2
又因为
（2）证明：
当 n=1时 a1=2 ＞ √3 成立
当 n=2时 a1=5/2＞ √5 成立
当 n=3时 a1=3＞ √7 成立
假设当n大于等于3时一个m时成立， 当n=m时成立，只需要证明n=m+1时成立
am ＞ √(2m+1) 成立
a(m+1)=am+1/2 ＞ √(2m+1)+1/2

所以只需要比较 √(2m+1)+1/2 与 √[2(m+1)+1] 这两个数的大小
分别平方相减的得到
[√(2m+1)+1/2]^2 - {√[2(m+1)+1] }^2
= (2m+1)+1/4 +√(2m+1) - [2(m+1)+1]
= 1/4+√(2m+1) -2
因为m ≥ 3 所以 1/4+√(2m+1) -2 > 1/4+√4 -2 > 0

所以对于大于等于3的任何一个n=m成立时，必定有n=m+1成立
所以命题得证。

Answer 3

　　解：(1)由a(n+1)=an+1/an
　　 a2=2+1/2=5/2;
　　 a3=5/2+1/(5/2)=29/10；
a4=29/10+1/(29/10)=941/290.
(2)令f(x)=x+1/x x大于等于1，则a(n+1)=f(an).
f`(x)=1-1/(x^2)>1>0 ,那么就有a(n+1)>an.则数列｛an}是单调递增数列。