Question

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的短轴长为4,F1,F2分别是C的左右两焦点

直线y=x与椭圆C在第一象限的交点为A，△AF1F2的面积为2根号6，点P（x0,y0）是C上的动点
（1）求C的方程
（2）若角F1PF2为钝角，求点P的横坐标x0的取值范围
（3）求(根号3)PF1+(根号2)PA

Answer 1

1、设椭圆方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1,
2b=4, b=2,
∵A在直线y=x上，
∴设A点坐标为（x1,x1)，
代入椭圆方程，
x1^2/a^2+x1^2/4=1,
x1^2=4a^2/(4+a^2),
|F1F2|=2c,
S△AF1F2=|F1F2|*x1/2=2√6，
x1=2√6/c,
(2√6/c)^2=4a^2/(4+a^2),
24/(a^2-4)=4a^2/(4+a^2),
a^4-10a^2-24=0,
(a^2-12)(a^2+2)=0,
a=2√3，（舍去负根），
c=2√2，
∴椭圆方程为：x^2/12+y^2/4=1.
2、左右焦点坐标分别是F1（-2√2，0），F2（2√2，0），
向量PF1=（-2√2-x0,-y0),
向量PF2=（2√2-x0,-y0），
∵π/2〈〈F1PF2〈π，
∴PF1·PF2〈0，
PF1·PF2=-8+x0^2+y0^2<0,
x0^2/12+y0^2/4=1,
y0^2=4-x0^2/3,
x0^2-8+4-x0^2/3<0,
x0^2<6,
∴-√6<x0<√6。
3、P点无具体位置，条件不满足，
若P在上顶点，PF1=a=2√3，PA=√（10-4√3），
√3PF1+√2PA=6+2√（5-3√3），
若P在右顶点，PF1=a+c=2√3+2√2，
PA=√6，
√3PF1+√2PA=3√2+2√6+4，
明显不相等，
∴不是常量，P点没有具体位置。不能确定