Question

如图，已知BC为圆O的直径，点A、F在圆O上，AD⊥BC，垂足为D，BF交AD于E，且AE＝BE。

（1）求证：AB＝AF；
（2）如果sin∩FBC＝5分之3，AB＝4倍根号5，求AD的长。

Answer 1

第一个问题：
∵BC是⊙O的直径，∴AB⊥AC，又AD⊥BC，∴∠BAE＝∠ACB（同是∠ABC的余角）。
∵A、B、C、F共圆，∴∠ACB＝∠AFB，∴∠BAE＝∠AFB。
∵AE＝BE，∴∠ABF＝∠BAE，∴∠AFB＝∠ABF，∴AB＝AF。

第二个问题：
方法一：
∵AB＝AF，∴∠ACB＝∠ACF＝∠FCB/2，∴∠FCB＝2∠ACB。
∵BC是⊙O的直径，∴BF⊥CF，∴sin∠FBC＝cos∠FCB＝cos2∠ACB＝3/5，
∴2（cos∠ACB）^2－1＝3/5，∴2（cos∠ACB）^2＝8/5，∴cos∠ACB＝2/√5。
∵AB⊥AC，∴cos∠ACB＝AC/BC＝2/√5。
∵∠BAD＝∠ACB、∠ADB＝∠CAB＝90°，∴△ABD∽△CBA，∴AB/BC＝AD/AC，
∴AD＝AB×AC/BC＝4√5×2/√5）＝8。

方法二：
∵AB＝AF，∴∠ACB＝∠ACF＝∠FCB/2，∴∠FCB＝2∠ACB。
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACB，∴∠AOD＝∠OAC＋∠ACB＝2∠ACB＝∠FCB。
∵BC是⊙O的直径，∴BF⊥CF，∴sin∠FBC＝cos∠FCB＝3/5，∴cos∠AOD＝3/5。
∵AD⊥OD，∴cos∠AOD＝OD/OA＝3/5，∴OD＝（3/5）OA＝（3/10）BC，
∴BD＝BC－CD＝BC－（OD＋OC）＝BC－（3/10）BC－（1/2）BC＝（1/5）BC。
∵AB⊥AC、AD⊥BC，∴由射影定理，有：
AB^2＝BD×BC＝（1/5）BC^2，∴BC＝√5AB＝√5×4√5＝20，∴BD＝（1/5）BC＝4，
∴CD＝BC－BD＝20－4＝16。
再由射影定理，有：AD^2＝BD×CD＝4×16，∴AD＝8。

Answer 2

连接AC
可证角BCA=BAD
又因为BE=AE
所以角BAD=ABE=BCA
因为同弧所对圆周角相等
所以BFA=BCA=ABE
所以AB=AF

第二个问题：
方法一：
∵AB＝AF，∴∠ACB＝∠ACF＝∠FCB/2，∴∠FCB＝2∠ACB。
∵BC是⊙O的直径，∴BF⊥CF，∴sin∠FBC＝cos∠FCB＝cos2∠ACB＝3/5，
∴2（cos∠ACB）^2－1＝3/5，∴2（cos∠ACB）^2＝8/5，∴cos∠ACB＝2/√5。
∵AB⊥AC，∴cos∠ACB＝AC/BC＝2/√5。
∵∠BAD＝∠ACB、∠ADB＝∠CAB＝90°，∴△ABD∽△CBA，∴AB/BC＝AD/AC，
∴AD＝AB×AC/BC＝4√5×2/√5）＝8。
方法二：
∵AB＝AF，∴∠ACB＝∠ACF＝∠FCB/2，∴∠FCB＝2∠ACB。
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACB，∴∠AOD＝∠OAC＋∠ACB＝2∠ACB＝∠FCB。
∵BC是⊙O的直径，∴BF⊥CF，∴sin∠FBC＝cos∠FCB＝3/5，∴cos∠AOD＝3/5。
∵AD⊥OD，∴cos∠AOD＝OD/OA＝3/5，∴OD＝（3/5）OA＝（3/10）BC，
∴BD＝BC－CD＝BC－（OD＋OC）＝BC－（3/10）BC－（1/2）BC＝（1/5）BC。
∵AB⊥AC、AD⊥BC，∴由射影定理，有：
AB^2＝BD×BC＝（1/5）BC^2，∴BC＝√5AB＝√5×4√5＝20，∴BD＝（1/5）BC＝4，
∴CD＝BC－BD＝20－4＝16。
再由射影定理，有：AD^2＝BD×CD＝4×16，∴AD＝8。