Question

如图,在三角形ABC中已知AB=AC=5,BC=6,切三角形ABC全等于三角形DEF,将三角形DEF与

（2012•宜宾）如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE、始终经过点A，EF与AC交于M点．
（1）求证：△ABE∽△ECM；
（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；
（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积．

Answer 1

因为在△ABE中，∠PEC=∠B+∠BAE
又∠PEC=∠PEF+∠FEC
所以∠PEF+∠FEC=∠B+∠BAE
因为△ABC≌△DEF
所以∠B=∠DEF
所以∠BAE=∠CEF
因为AB=AC
所以∠B=∠C
所以△ABE∽△ECM
2) 若AB=EC,又△ABE∽△ECM
所以△ABE≌△ECM,
所以AE=EM
所以△AEM是等腰三角形
此时AB=EC=5,
所以BE=BC-EC=6-5=1
若AE=AM,则∠AME=∠AEM,
因为∠AEM=∠B=∠C
所以∠AME=∠C
又△ECM中∠AME>∠C
所以这种情况不存在
若MA=ME,则∠EAC=∠AEM,
因为∠AEM=∠B=∠C
所以∠EAC=∠C=∠B,
所以△EAC∽△ABC
所以EC/AC=AC/BC
即EC/5=5/6
解得EC=25/6
所以BE=BC-EC=6-25/6=11/6
3)设BE=x，则EC=6-x,
由△ABE∽△ECM，得
AB/EC=BE/CM
即5/(6-x)=x/CM
整理CM=(-1/5)x²+(6/5)x=(-1/5)(x-3)²+9/5
当x=3时,E在BC的中点，CM有最大值为9/5,此时AM最小，为5-9/5=16/5
所以重叠的面积
=直角△AEC-△ECM面积
=(1/2)*EC*AE-(1/2)*EC*CM*sin∠C
=(1/2)×3×4-（1/2）×3×(9/5)×(4/5)
=86/25

望采纳 `(*∩_∩*)′

Answer 2

（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠AEF=∠B，
又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，
∴∠CEM=∠BAE，
∴△ABE∽△ECM；

（2）解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，
∴∠AME＞∠AEF，
∴AE≠AM；
当AE=EM时，则△ABE≌△ECM，
∴CE=AB=5，
∴BE=BC-EC=6-5=1，
当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA，
∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，
即∠CAB=∠CEA，
又∵∠C=∠C，
∴△CAE∽△CBA，
∴CEAC=
ACCB，
∴CE=AC2CB=
256，
∴BE=6-256=116；

（3）解：设BE=x，
又∵△ABE∽△ECM，
∴CMBE=
CEAB，
即：CMx=
6-x5，
∴CM=-x25+65x=-15（x-3）2+95，
∴AM=5-CM═15（x-3）2+165，
∴当x=3时，AM最短为165，
又∵当BE=x=3=12BC时，
∴点E为BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴AE=AB2-BE2=4，
此时，EF⊥AC，
∴EM=CE2-CM2=125，
S△AEM=12×
165×
125=
9625．

Answer 3

（1）由AB=AC，根据等边对等角，可得∠B=∠C，又由△ABC≌△DEF与三角形外角的性质，易证得∠CEM=∠BAE，则可证得：△ABE∽△ECM；
（2）首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，可得AE≠AM，然后分别从AE=EM与AM=EM去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案；
（3）首先设BE=x，由△ABE∽△ECM，根据相似三角形的对应边成比例，易得CM=-x25+65x=-15（x-3）2+95，继而求得AM的值，利用二次函数的性质，即可求得线段AM的最小值，继而求得重叠部分的面积．
解 答（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠AEF=∠B，
又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，
∴∠CEM=∠BAE，
∴△ABE∽△ECM；
（2）能．
解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，
∴∠AME＞∠AEF，
∴AE≠AM；
当AE=EM时，则△ABE≌△ECM，
∴CE=AB=5，
∴BE=BC-EC=6-5=1，
当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA，
∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，
即∠CAB=∠CEA，
又∵∠C=∠C，
∴△CAE∽△CBA，
∴CEAC=ACCB，
∴CE=AC2CB=256，
∴BE=6-256=116；
（3）解：设BE=x，
又∵△ABE∽△ECM，
∴CMBE=CEAB，
即：CMx=6-x5，
∴CM=-x25+65x=-15（x-3）2+95，
∴AM=5-CM═15（x-3）2+165，
∴当x=3时，AM最短为165，
又∵当BE=x=3=12BC时，
∴点E为BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴AE=AB2-BE2=4，
此时，EF⊥AC，
∴EM=CE2-CM2=125，
S△AEM=12×165×125=9625．

Answer 4

作BC边垂线AG和BA边垂线CH
因为AB=AC
因为AG⊥BC
所以AG平分BC
因为BC=6
所以BG=3
因为AB=5
所以AG=4（勾股）
所以S△ABC=12
所以HC=4.8
因为BD=X
所以DC=6-X
因为DE∥AB
所以DC/BC=ED/AB
计算……
所以ED=5-5/6X
又因为HC/HI=BC/BD
计算……
HI=4/5X
所以Y=4/5X（5-5/6X）

Answer 5

解答：（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠AEF=∠B，
又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，
∴∠CEM=∠BAE，
∴△ABE∽△ECM；
（2）解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，
∴∠AME＞∠AEF，
∴AE≠AM；
当AE=EM时，则△ABE≌△ECM，
∴CE=AB=5，
∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1，
当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA，
∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，
即∠CAB=∠CEA，
又∵∠C=∠C，
∴△CAE∽△CBA，
∴，
∴CE=，
∴BE=6﹣=；
（3）解：设BE=x，
又∵△ABE∽△ECM，
∴，
即：，
∴CM=﹣+x=﹣（x﹣3）2+，
∴AM=﹣5﹣CM═（x﹣3）2+，
∴当x=3时，AM最短为，
又∵当BE=x=3=BC时，
∴点E为BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴AE==4，
此时，EF⊥AC，
∴EM==，
S△AEM=．