Question

已知1/3≤a≤1,若函数f(x)=ax^2-2x在区间[1,3]上的最大值为M(a),最小值为N(a),令g(a)=M(a)-N(a)

1.求g(a)的函数解析式
2.若关于a的方程g(a)-t=0有解，求实数t的取值范围

Answer 1

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函数f(x)=ax^2-2x的对称轴：x=1/a，因为1/3≤a≤1，所以1≤1/a≤3。判别式delta=4>0
当1≤1/a≤2，即：1/2≤a≤1时，函数对称轴位于1和2之间，此时最小值N(a)=a*(1/a)^2-2/a=-1/a
最大值M(a)=f(3)=9a-6
当2≤1/a≤3，即：1/3≤a≤1/2时，函数对称轴位于2和3之间，此时最小值N(a)=a*(1/a)^2-2/a=-1/a
最大值M(a)=f(1)=a-2
所以g(a)=a-2+1/a，当1/3≤a≤1/2时；g(a)=9a-6+1/a，当1/2≤a≤1时
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g(a)-t=0有解，实际上是求解g(a)的值域
当1/3≤a≤1/2时，g(a)=a-2+1/a，g’(a)=1-1/a^2<0，函数此时是减函数
1/2+2-2≤g(a) ≤1/3+3-2，即：1/2≤g(a) ≤4/3

当1/2≤a≤1时，g(a)=9a-6+1/a，g’(a)=9-1/a^2>0，函数此时是增函数
9/2-6+2≤g(a) ≤9-6+1，即：1/2≤g(a) ≤4
综上：a在区间[1/3,1]上时，函数g(a)的范围是[1/2,4]

故g(a)-t=0如果有解t的范围[1/2,4]

追问

判别式delta=4>0
这是什么？没学过

追答

其实这题没必求判别式，我就是随手写了一下
y=ax^2+bx+c，delta=b^2-4ac，当c=0时，delta=b^2，你觉得有问题吗？

追问

哦、没问题、
啊、这么难的数学考试时怎么会啊

追答

呵呵，也不知道我算得对不对。
其实这样的题目，在抛物线综合题目中应该算中等难度
比这难的多着呢

追问

应该对吧、
这个在高中也算中等难度？
压轴题不是最难的吗？
哎、压轴题真心不会做

追答

是吗？压轴题，我真觉得是中等难度，很多抛物线题都比这难呀
只要保证前面的容易题的准确率，最后一题不会做也没什么关系
有时就算会做，也可能时间不够用呀