Question

线性代数概念性问题，求解答。

书上说，“多项式f(x)与它的任一个非零常数项cf(x)（c≠0）有相同的因式，也有相同的倍式。” 不太清楚，比方说f(x)=x , c=5,那3x不是5x的倍式啊？我哪里理解错了，求帮助。

Answer 1

因式和倍式的定义：当多项式A除以多项式B，余数为0，则A为B的倍式，B为A的因式
引用你说的例子：f(x)=x , c=5，
那么f(x)的因式也就是5f(x)的因式，例如1/2f(x)=1/2x
f(x)和5f(x)都能整除f(x)=1/2x，所以他们拥有相同的因式，

并且他们拥有相同的倍式，例如10f(x)=10x，它既能整除f(x)，也能整除5f(x)，
所以他们拥有相同的倍式

综上所述，书中所述没有问题，f(x)和cf(x)肯定有相同的因式和倍式

追问

那3x是x的倍式，但是不是5x的倍式啊？劳烦，概念不明白。

追答

“多项式f(x)与它的任一个非零常数项cf(x)（c≠0）有相同的因式，也有相同的倍式。”
注意这句话的主语是“多项式f(x)”，宾语是“它的任一个非零常数项cf(x)”
所以是指f(x)与3f(x)有相同的因式和倍式，f(x)与5f(x)有相同的因式和倍式，
这句话并没有说3f(x)和5f(x)之间有相同的因式和倍式啊。要仔细扣定义中的每一个字。

追问

那f(x)的倍式有：f(x) ,2f(x),3f(x),.....
3f(x)的倍式有：3f(x),6f(x),9f(x)，...
他们的倍式不完全相同啊？

追答

书上也没说他们的倍式或因式完全相同啊，
只是说他们“有相同的因式，也有相同的倍式”，只要有就行了