Question

f(x)=5根号下3cos^2x+根号下3sin^2x-4sinxcosx x属于[π/4,7π/24]（1）求f（X）的值域 （2）求单减区间

Answer 1

f(x)=5根号下3cos^2x+根号下3sin^2x-4sinxcosx x属于[π/4,7π/24]
f(x)=根号3(5(1+cos2x)/2)+根号3(1-cos2x)/2-2sin2x
f(x)=5(根号3)/2+5(根号3)cos2x/2+根号3/2-(根号3)cos2x/2-2sin2x
f(x)=3（根号3)+2（根号3)cos2x-2sin2x
f(x)=2[(根号3)^2+(-1)^2]^(1/2) * sin(2x+arctan(-根号3))+3（根号3)
f(x)=4sin(2x-π/3)+3(根号3)
值域：[-4+3根号3, 4+3根号3]
2x-π/3E[2kπ-π/2,2kπ+π/2]时，增的
即：2xE[2kπ-π/6,2kπ+5π/6]
即：xE[kπ-π/12,kπ+5π/12]时，是增的。
当2x-π/3E[2kπ+π/2,2kπ+3π/2]时，是减的即：2xE[2kπ+5π/6,2kπ+11π/6]
即：xE[kπ+5π/12, kπ+11π/12]时，是减的。

楼上的错了！2根号3cos2x-2sin2x=4sin(2x-pai/3)不是4sin(2x-pai/6)

Answer 2

f(x)=5根号下3cos^2x+根号下3sin^2x-4sinxcosx
=4根号下3cos^2x-4sinxcosx+根号下3
=2根号下3(2cos^2x-1)-2sin2x+3根号下3
=2根号3cos2x-2sin2x+3根号下3
=4cos(2x-π/6)+3根号下3

（1）x属于[π/4,7π/24]
2x-π/6 属于[π/3，2π/3]
cos(2x-π/6)属于[-1/2，1/2]
4cos(2x-π/6)+3根号下3 属于[-2+3根号3，2+3根号3]

（2）求单减区间
2kπ<=2x-π/6<=2kπ+π
kπ+π/12<=x<=kπ7π/12
单减区间 【kπ+π/12，kπ7π/12】 （ k∈Z）

追问

5根号下3cos^2x的5为啥变成了4

追答

5根号下3cos^2x+根号下3sin^2x
=4根号下3cos^2x+根号下3cos^2x+根号下3sin^2x
=4根号下3cos^2x+根号下3（cos^2x+sin^2x） cos^2x+sin^2x=1
=4根号下3cos^2x+根号下3