Question

已知双曲线中心在原点，焦点F1 ,F2 在坐标轴上，离心率e=根号2，且过点(4，根号10)。（1）求双曲线的方程

（2）若点M（X0，Y0）在双曲线上，求MF1·MF2的取值范围。（是两个向量相乘）
（3）点P是双曲线上一点，若∠F1PF2为锐角，求点P的横坐标的取值范围。

Answer 1

1）设方程为 x²/a²-y²/b²=1
∵c²/a²=e²=2 b²=c²-a² ∴b²=2a²-a²=a²
16/a²-10/a²=1 => a²=6 【若计算得a²为负数，则焦点在y轴】
∴方程 x²/6-y²/6=1 为所求。

2）xm=3时，ym=m=±√(9-6)=±√3 (即ym'=√3；ym''=-√3)
∵F1(-√12,0) ； F2(√12,0)
∴M'F1的斜率 k(m'f1)=(ym'-yf1)/(xm'-xf1)=(√3-0)/(3+√12)=2-√3
M'F2的斜率 k(m'f2)=(ym'-yf2)/(xm'-xf2)=(√3-0)/(3-√12)=-2-√3
而2-√3=-1/(-2-√3)
∴M'F1⊥M'F2
同理 M"F1⊥M"F2
∴MF1⊥MF2
∴向量MF1与向量MF2的点积为零。

3）|F1F2|=2√12 |ym|=√3
∴S⊿F1MF2=(|F1F2|*|ym|)/2=2√12*√3/2=6