Question

已知抛物线y^2=6x,定点A（2，3），F为抛物线的焦点，P为抛物线上的一个动点，则|FP|+|PA|=最小值为

提示7/2 请过程解释

Answer 1

令y^2＝6x中的y＝3，得：x＝y^2/6＝9/6＝3/2＜2，∴点A（2，3）在抛物线的右侧。
过A作y轴的垂线与抛物线y^2＝6x相交，交点就是满足条件的点P。

下面证明上述所作出的点P是满足条件的。
显然，抛物线y^2＝6x的准线方程是：x＝－3/2。
延长AP交x＝－3/2于B，由抛物线定义，有：PB＝PF，∴PA＋PF＝PA＋PB＝AB。
在抛物线上取点P外的任意一点Q，过Q作QC⊥y轴交x＝－3/2于C、过Q作QD∥BC交AB于D。
容易得出：BCQD是矩形，∴QC＝DB，又由抛物线定义，有：QF＝QC，∴QF＝DB。
很明显，AQ是Rt△AQD的斜边，∴QA＞AD，∴QA＋QF＞AD＋DB＝AB。
∴点P是在抛物线上使其到抛物线焦点与点A距离之和最小的点。

下面求（PA＋PF）的最小值。
令AB与y轴相交于E。
显然有：BE＝3/2、AE＝2，∴（PA＋PF）的最小值＝AB＝BE＋AE＝3/2＋2＝7/2。