Question

高三空间几何

在四棱锥p-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形,AC=6.BD=6倍根号3,E是PB上任意一点，（1）求证AC垂直DE（2）当三角形AEC面积最小是9 时，证明EC⊥平面PAB

Answer 1

1）PD⊥平面ABCD，AC属于面ABCD，所以PD⊥AC
又四边形ABCD是菱形，所以对角线AC⊥BD
BD与PD交于D点，所以AC⊥面BPD
E在BP上，所以DE属于面BPD，所以AC⊥DE
2）设AC与BD交点为O，连接EO
由（1）AC⊥面BPD，EO属于面BPD，所以AC⊥EO
三角形AEC面积S=AC*EO/2=3EO
1、则当EO最小的时候S最小，由于O点固定，问题变为点到直线的最短距离
所以当EO垂直BP时，EO最短
BP⊥EO BP⊥AC（由第一小题） 所以BP⊥面AEC BP⊥EC
2、又由题知道S最小为9，所以EO最小为3
AO=OC=6/2=3 EO=3 所以三角形AEC为等腰执教三角形，AE⊥EC
综合1、2，BP与AE交于E点，所以EC⊥面PAB