Question

已知a^2-3a-1=0求a^2+1/a^2,a^3-1/a^3,a^3+1/a^3

Answer 1

显然a≠0，
a²-3a+1=0
a²+1=3a
两边平方
a^4+2a²+1=9a²
a^4+1=7a²
两边除以a²
a²+1/a²=7
①a²+1/a²=7
②a³-1/a³=(a - 1/a)(a²+1+1/a²)
由a²-3a-1=0可得a-3-1/a=0，a-1/a=3
所以②=3×8=24
③a³+1/a³=(a+1/a)(a²-1+1/a²)
a-1/a=3，(a-1/a)²=9，(a-1/a)²+4=13，a²+1/a²+2=13，a+1/a=±√13
所以③=±6√13

追问

题目是a^2-3a-1=0！！不是a²-3a+1=0

追答

额。
a^2-3a-1=0
a-1/a=3
平方：a^2+1/a^2-2=9
a^2+1/a^2=11

a^3-1/a^3=（a-1/a）（a^2+1/a^2+1）=3*12=36
a^3+1/a^3=（a+1/a）（a^2+1/a^2-1）=10（a+1/a）
（a+1/a）²=11+2=13，a>0.
a^3+1/a^3=（a+1/a）（a^2+1/a^2-1）=10（a+1/a）=10根号13

追问

为什么a＞0？？

追答

a^2-3a-1=0
a=(3±根号5）/2＞0