Question

函数f(x)=x^2-2x(0≤x≤3)的值域

Answer 1

解：f(x)=(x-1)^2-1
最小值为-1
最大值为f(3)=3^2-2*3=3
(0≤x≤3)的值域（-1，3）

追问

为什么最小值等于-1

追答

函数二次项系数a大于0所以开口向上 ，有最小值为：-b/2a=-*(-2)/2*1=-1

Answer 2

这是一道二次函数求值域问题，求值域前提需要知道定义域，关键在单调性。二次函数单调性的判定是根据开口和对称轴确定的。
解：∵x=-b/2a=1 ∴0≤x1时递减，1≤x≤3时递增，所以在1时取最小值，3时取最大值
f(x)min=f(1)=1-2=-1；f(x)max=f(3)=9-6=3
∴f(x)=x^2-2x在0≤x≤3时的值域为：[-1，3]

追问

“0≤x1时递减” 范围是？

追答

0≤x≤1时递减

Answer 3

法一：直接对函数求导
解：令y=f(x) 则dy/dx=2x-2
因为(0≤x≤3)所以0≤x≤1为f(x)的单调递减区间
1≤x≤3为f(x)的单调递增区间
则f(x=3)max=3;f(x=1)min=-1;
即-1≤f(x)≤3
法二：此函数为一元二次函数，即f(x)=(x-1)^2-1
又因为0≤x≤3即-1≤f(x)≤3

Answer 4

函数f(x)=x^2-2x(0≤x≤3)是开口向上的抛物线，最低点为x=1时，f(x)=-1。在[-1,3]上是单调递增，故，x=3时，f(x)=3，f(x)的值域为[-1,3]