Question

如图,△ABC中,AB=AC,D为圆O上一点,角ACD=45°,DE⊥BC于E,连AD （1）求证：DE是圆O的切线

（2）延长CO交AB于M，若弧AD=2弧CD，CE=1，DE=2
求BM

Answer 1

证明:连接AO并延长交BC于F,连接OB,OD
AB=AC,OA=OB=OC,
△AOB全等于△AOC
∠BAO=∠CAO,△ABC是等腰三角形(由三线全一)
AF⊥BC
∠OFE=90°
∠ACD=45°
∠AOD=2∠ACD=90° (,同弧上圆心角等于圆周角2倍)
∠DOF=90° 因∠DEC=90°,∠OFE=90°
四边形ONCD是矩形
∠ODE=90°
DE是圆O的切线
(2)由切割线定理得
DE^2=BE*CE,2^2=BE*1
BE=4,BC=BE-CE=4-1=3
弧AD=2弧CD,∠AOD=90°
∠DOC=45°,因OD//BC
∠MCB=∠DOC=45°因OB=OC∠OCB=∠OBC=45,∠BOC=90°
三角形OBC是等腰直角三角形
OB=OC=√2/2BC=3√2/2,易求∠ABC=∠ACB=67.5
MC=BC=3,OM=MC-OC=3-3√2/2
RT△MBO相似RT△DCE
MB/DC=OB/DE,MB/√MB5=3√2/2/2
MB=3√10/4

Answer 2

1、连接AO并延长，交BC于N，连接OD
∵AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
∴O在等腰三角形底边的高、中线、和顶角的平分线上
∴AN⊥BC即∠ONC=90°
∵∠ACD=45°
∴∠AOD=∠NOD=2∠ACD=2×45°=90°
∵DE⊥BC，即∠DEN=∠ONC=∠NOD=90°
∴四边形ONCD是矩形
∴∠ODC=90°即OD⊥CD
∴DE是圆O的切线
2、

Answer 3

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