Question

已知数列{an}的前项和为Sn，数列{根号Sn+1}是公比为2的等比数列 0

已知数列{an}的前项和为Sn，数列{根号Sn+1}是公比为2的等比数列 0分
（1）若数列an成等比数列，求a1
(2)设bn=5^n-(-1)an(n属于N*)若bn<bn+1对n属于N*恒成立，求a1的取值范围
求第二问

Answer 1

当n=1时，b1=5+a1；当n≥2时，bn=5^n-（-1）^n×3（a1+1）×4^﹙n-2﹚（a1＞-1）．
①当n为偶数时，5^n-3（a1+1）×4^(n-2)＜5^n+1+3（a1+1）×4^(n-1)恒成立．
即15（a1+1）×4^(n-2)＞-4×5^n恒成立．故a1∈（-1，+∞）．
②当n为奇数时，b1＜b2且bn＜bn+1（n≥3）恒成立．
由b1＜b2知，5+a1＜25-3（a1+1），得 a1＜17／4．
由bn＜bn+1对n≥3的奇数恒成立，知5^n+3（a1+1）×4^(n-2)＜5^(n+1)-3（a1+1）×4^(n-1)恒成立，
即15（a1+1）×4^(n-2)＜4×5^n恒成立，所以 a1+1＜20/3(5/4)n-2恒成立．
因为当对n≥3的奇数时， 20/3(5/4)n-2的最小值为 25/3，所以 a1＜22/3．
又因为 17／4＜22/3，故 -1＜a1＜17／4．
综上所述，bn＜bn+1对n∈N*恒成立时， a1∈(-1，174)．

Answer 2

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