Question

设椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率e=根号3/2,切过点p(0,3/2),求这个椭圆的方程

Answer 1

解：设所求椭圆的方程为x²/a²+y²/b²=1 (a>b>0)
由e²=c²/a²=1-(b/a)²=3/4得b/a=1/2
设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则
d²=x²+(y-3/2)²=a²-a²y²/b²+(y-3/2)²
``=-3y²-3y+4b²+9/4
``=-3(y+1/2)²+4b²+3
其中-b≤y≤b,如果b<1/2,则当y=-b时,d²取得最大值.
(√7)²=(b+3/2)²,解得b=√7-3/2>1/2与b<1/2矛盾.
故b≥1/2.
当y=-1/2时,d²取得最大值(√7)²=4b²+3,解得b=1,a=2
所求椭圆方程为x²/4+y²=1
由y=-1/2可求得到点的距离等于√7的坐标为(±√3,-1/2).

Answer 2

离心率e=c/a=根号3/2
设c=根号3*k ,a=2k ,a^2=b^2+c^2
b=k a=2b
0^2/(2b)^2+(3/2)^2/b^2=1
b^2=9/4 a^2=9
椭圆的方程x^2/9+y^2/(9/4)=1