Question

椭圆的中心在原点,焦点在X轴上,离心率e=根号3/2,已知点p(0,3/2)到这个椭圆上点最远距离为

椭圆的中心在原点,焦点在X轴上,离心率e=根号3/2,已知点p(0,3/2)到这个椭圆上点最远距离为根号7，
e=根号3除以2
c=√3/2*a,b^2=a^2-c^2=a^2-3a^2/4=a^2/4
长轴在x轴上,所以，可设椭圆方程为：x^2/a^2+4y^2/a^2=1
椭圆上的点(asinr,acosr/2)到p的距离平方
=a^2sin^2r+(acosr-3)^2/4
=-1/4*(3a^2cos^2r+6acosr-9-4a^2)
=-[3(acosr+1)^2-12-4a^2]/4
所以，acosr+1=0时，距离平方最远=(12+4a^2)/4=3+a^2
3+a^2=7
a^2=4
椭圆方程为：x^2/4+y^2=1

过程指导 求详细解释

Answer 1

椭圆的中心在原点,焦点在X轴上,离心率e=根号3/2,已知点p(0,3/2)到这个椭圆上点最远距离为根号7，求椭圆方程
解：e=√3/2，c=√3/2*a,b^2=a^2-c^2=a^2-3a^2/4=a^2/4
长轴在x轴上,所以，可设椭圆方程为：x^2/a^2+4y^2/a^2=1（a>0)
设椭圆上的点(a*cosθ,a/2*sinθ)到P的距离=d,
则d^2=(a*cosθ-0)^2+(a/2*sinθ-3/2)^2
=-3/4*(a*sinθ+1)^2+a^2+3。。。。。（*）
（I）若a>=1,当a*sinθ+1=0时，d^2取得最大值，[d^2]max=a^2+3,根据题意，a^2+3=(√7)^2=7,解得a^2=4,此时所求椭圆为x^2/4+y^2=1
（II）若0<a<1,当sinθ=-1时，d^2取得最大值，
[d^2]max=-3/4*(-a+1)^2+a^2+3=(a+3)^2/4<=(1+3)^2/4=4<(√7)^2=7,此时不存在满足题设条件的实数a
综上，所求椭圆方程为：x^2/4+y^2=1
注：请仔细对照，有问题我们一起探讨学习