Question

在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点（点P异于C，D两点）．连接PM，过点p

作PM的垂线与射线DA相交于点E（如图），设CP=x，DE=y．（1）写出y与x之间的关系式 （2）若点E与点A重合，则x的值为
要过程

Answer 1

分析：（1）由PE与PM垂直，利用平角的定义得到一对角互余，再由矩形的内角为直角，得到三角形DPE为直角三角形，可得出此直角三角形中一对锐角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形PCM与三角形DPE相似，由相似得比例，将各自的值代入，即可列出y关于x的函数关系式；
（2）当E与A重合时，DE=DA=2，将y=2代入第一问得出的y与x的关系式中，即可求出x的值；
（3）存在，理由为：如图所示，过P作PH垂直于AB，由对称的性质得到：PD′=PD=4-x，ED′=ED=y=-x2+4x，EA=AD-ED=x2-4x+2，∠PD′E=∠D=90°，在Rt△D′PH中，PH=2，D′P=DP=4-x，根据勾股定理表示出D′H，再由△ED′A∽△D′PH，由相似得比例，将各自表示出的式子代入，可列出关于x的方程，求出方程的解即可得到满足题意的x的值．
解答：解：（1）∵PE⊥PM，∴∠EPM=90°，
∴∠DPE+∠CPM=90°，
又矩形ABCD，∴∠D=90°，
∴∠DPE+∠DEP=90°，
∴∠CPM=∠DEP，又∠C=∠D=90°，
∴△CPM∽△DEP，
∴CPDE=CMDP，
又CP=x，DE=y，AB=DC=4，∴DP=4-x，
又M为BC中点，BC=2，∴CM=1，
∴xy=14-x，
则y=-x2+4x；
（2）当E与A重合时，DE=AD=2，
∵△CPM∽△DEP，
∴CPDE=CMDP，
又CP=x，DE=2，CM=1，DP=4-x，
∴x2=14-x，即x2-4x+2=0，
解得：x=2+2或x=2-2，
则x的值为2+2或2-2；
（3）存在，过P作PH⊥AB于点H，
∵点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上，
∴PD′=PD=4-x，ED′=ED=y=-x2+4x，EA=AD-ED=x2-4x+2，∠PD′E=∠D=90°，
在Rt△D′PH中，PH=2，D′P=DP=4-x，
根据勾股定理得：D′H=(4-x)2-22=x2-8x+12，
∵∠ED′A=180°-90°-∠PD′H=90°-∠PD′H=∠D′PH，∠PD′E=∠PHD′=90°，
∴△ED′A∽△D′PH，
∴ED′D′P=EAD′H，即-x2+4x4-x=x(4-x)4-x=x=x2-4x+2x2-8x+12，
整理得：2x2-4x+1=0，
解得：x=2±22，
当x=2+22或x=2-22时，此时E在DA上或延长线上，符合题意，
则x=2+22或x=2-22时，点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上．
故答案为：（1）y=-x2+4x；（2）2-2
点评：此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，对称的性质，矩形的性质，以及一元二次方程的应用，利用了数形结合的数学思想，灵活运用相似三角形的判定与性质是解本题的关键．

Answer 2

 

Answer 3

y=-x2 4x
令y=2
-x2 4x=2
x=2±根号6
x=2 根号6

Answer 4

图呢？