Question

arctan（x的平方）的积分

Answer 1

∫arctan(x^2)dx

=xarctan(x^2)-∫x*1/(1+x^4)*2xdx

=xarctan(x^2)-∫2x^2/(1+x^4)dx

基本介绍

积分发展的动力源自实际应用中的需求。实际操作中，有时候可以用粗略的方式进行估算一些未知量，但随着科技的发展，很多时候需要知道精确的数值。要求简单几何形体的面积或体积，可以套用已知的公式。比如一个长方体状的游泳池的容积可以用长×宽×高求出。

但如果游泳池是卵形、抛物型或更加不规则的形状，就需要用积分来求出容积。物理学中，常常需要知道一个物理量（比如位移）对另一个物理量（比如力）的累积效果，这时也需要用到积分。

Answer 2

解：∫arctan(x^2)dx
=xarctan(x^2)-∫x*1/(1+x^4)*2xdx
=xarctan(x^2)-∫2x^2/(1+x^4)dx
考虑∫2x^2/(1+x^4)dx
=∫2/(x^2+1/x^2)dx
=∫1/(x^2+1/x^2)[d(x+1/x)+d(x-1/x)]
=∫1/(x^2+1/x^2)d(x+1/x)+∫1/(x^2+1/x^2)d(x-1/x)
=∫d(x+1/x)/[(x+1/x)^2-2]+∫d(x-1/x)/[(x-1/x)^2+2)
=∫[1/(x+1/x-√2)-1/(x+1/x+√2)]*1/(2√2)d(x+1/x)+√2/2*arctan[√2/2*(x-1/x)]
=√2/4*(ln|x+1/x-√2|-ln|x+1/x+√2|)+√2/2*arctan[√2/2*(x-1/x)]+C
=√2/4*ln|(x+1/x-√2)/(x+1/x+√2)|+√2/2*arctan[√2/2*(x-1/x)]+C
故∫arctan(x^2)dx
=xarctan(x^2)+√2/4*ln|(x+1/x+√2)/(x+1/x-√2)|-√2/2*arctan[√2/2*(x-1/x)]+C1
不明白请追问。

Answer 3

先分部积分，再用有理函数积分