Question

已知函数y=f(x)=a-1/∣x∣

1求证：函数y=f（x）在（0，+∞
)上是增函数
2若f（x）<2x在（1，
∞）上恒成立，求实数a的取值范围
1题我会了，只是2题不懂，求大神给出《详细》步骤

Answer 1

f(x)<2x
a-1/|x|<2x x>1
所以：|x|=x
a-1/x<2x
a<2x+1/x成立，就是2x+1/x的最小值大于a
设y=2x+1/x最小值：x>1
下面讨论y=2x+1/x的增减性。
设y1=2x1+1/x1
y2=2x2+1/x2
x1>x2>1
y1-y2=2(x1-x2)+(x2-x1)/(x1x2)=（x1-x2)(2-1/(x1x2))
x1-x2>0 x1x2>1 0<1/(x1x2)<1 -1<1/(x1x2)<0 1<2-1/(x1x2)<2
所以(x1-x2)(2-1/(x1x2))>0
即：y1>y2
因此，x>1时，是增的。
最小值为x=1时取值：即：ymin=2+1=3
所以，a<=3