Question

如图11,在四边形ABCD中,对角线AC.BD交与点E，∠BAC=90度，∠CED=45度，∠DCE=30度，DE=√2，BE=2√2

求CD的长和四边形ABCD的面积.

Answer 1

解：做DF垂直于AC,交AC于F点，根据题有
△ABE,△DFE为等腰直角三解形，△CFD为直角三角形，CD为△CFD的斜边

∵BE=2√2, ∴AB=AE=2

∵DE=√2，∴DF=EF=1，又∵∠DCE=30度，∴CD=2DF=2，同时求得CF=√3
∴AC=AE+EF+CF = 2 + 1 + √3=3+√3

∴Sabcd = S△abc + S△acd = AC*AB/2 + AC*DF/2

=AC*(AB+DF)/2
=(3+√3)(2+1)/2 = 3(3+√3)/2

Answer 2

考点：勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．分析：利用等腰直角三角形的性质得出EH=DH=1，进而得出再利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出CD的长，求出AC，AB的长即可得出四边形ABCD的面积．
解：过点D作DH⊥AC，

∵∠CED=45°，DH⊥EC，DE=√2，
∴EH=DH，
∵EH²+DH²=ED²，
∴EH²=1，
∴EH=DH=1，
又∵∠DCE=30°，
∴DC=2，HC=√3，
∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，
BE=2√2，
∴AB=AE=2，
∴AC=2+1+√3=3+√3，
∴S四边形ABCD= 1 1 3 √3+9
—×2×（3+√3）+ —×1×（3+√3 ）= ——-—
2 2 2
此题主要考查了解直角三角形和三角形面积求法，根据已知构造直角三角形进而得出直角边的长度是解题关键．

Answer 3

证明：做DF垂直于AC,交AC于F点，根据题有
△ABE,△DFE为等腰直角三解形，△CFD为直角三角形，CD为△CFD的斜边

∵BE=2√2, ∴AB=AE=2

∵DE=√2，∴DF=EF=1，又∵∠DCE=30度，∴CD=2DF=2，同时求得CF=√3
∴AC=AE+EF+CF = 2 + 1 + √3=3+√3

∴Sabcd = S△abc + S△acd = AC*AB/2 + AC*DF/2

=AC*(AB+DF)/2
=(3+√3)(2+1)/2 = 3(3+√3)/2