Question

设A是非零的幂零矩阵,即A不是零矩阵且存在自然数m使得A^m=0证明:A的特征值全为零且A不可对角化

Answer 1

设a是A的特征值
则 a^m 是 A^m 的特征值 (定理)
而 A^m = 0, 零矩阵只有0特征值
所以 a^m = 0
所以 a = 0.
即 A 的特征值只有0.
又因为 A≠0
所以 r(A)>=1
所以 AX=0 的基础解系所含向量的个数 n-r(A) <= n-1
所以n阶方阵A至多有n-1个线性无关的特征向量
故A不可对角化.

Answer 2

首先将问题扩充到代数封闭域(如复数域).
此时若c为A的特征值, 即存在非零向量v使Av=cv.
而A幂零, 即存在正整数m使A^m=0, 可知0=(A^m)v=(c^m)v.
v非零故c^m=0, 于是c=0. 因此A的特征值全为0.
若A可对角化, 可知对角化后是只有0特征值的对角矩阵, 即零矩阵.
但相似于零矩阵的只有零矩阵, 因此非零的幂零矩阵不可对角化.