Question

数列1×1/2，2×1/4，3×1/8，4×1/16求前N项和。

答案：=(1 2 3 .. n) (1/2 1/4 .. 1/2^n)
=(n 1)n/2 1/2[1-(1/2)^n]/(1-1/2)
=n(n 1)/2 (1/2)^n-1，为什么是等差乘等比数列却能用求和公式相加？［(1 2 3 .. n) (1/2 1/4 .. 1/2^n)］这步是怎么得出来的？求数学达人求解！！！！！

Answer 1

[1 2 3 .. n] [1/2 1/4 .. 1/2^n］是两个n维向量之间的内积.

两个n维向量a=[a(1),a(2),...,a(n)]和b=[b(1),b(2),...,b(n)]之间的内积定义为
a*b=[a(1),a(2),...,a(n)][b(1),b(2),...,b(n)]
=a(1)*b(1)+a(2)*b(2)+...+a(n)*b(n),
=|a|*|b|*cos(c),
其中, |a|为向量a的长度, |a|={[a(1)]^2+[a(2)]^2+...+[a(n)]^2}^(1/2),
|b|为向量b的长度, |b| = {[b(1)]^2 + [b(2)]^2 + .... + [b(n)]^2 }^(1/2),
c为向量a和b之间的夹角.

所以,
1*(1/2)+2*(1/2^2)+...+n*(1/2^n)可以看作向量[1,2,...,n]和向量[1/2,1/2^2,...,1/2^n]之间的内积.
1*(1/2)+2*(1/2^2)+...+n*(1/2^n) = [1, 2, 3, ..., n] [1/2, 1/4, 1/8, ..., 1/2^n］

Answer 2

答案错了，正解：Sn=1/2+2/4+3/8+……+n/2^n.....（1）
两边同乘2
2Sn=1+2/2+3/4+……+n/2^(n-1).......（2）
两式错位相减：（2）-（1），即2/2-1/2，3/4-2/4，4/8-3/8……
Sn=1+[1/2+1/4+1/8+……+1/2^(n-1)]-n/2^n
=1+1/2×(1-(1/2)^(n-1))/(1-1/2)-n/2^n
=2-(n+2)/2^n