Question

一道定积分的题目，求解答

设f(x)在[a,b]上可导,且f'(x)>0,f(a)>0.证明：对如图所示的两个面积函数A（x）和B（x），存在ξ∈（a，b），使A(ξ)/B(ξ)=2011.

Answer 1

证明：A(x)=f(x)(x-a)-积分(从a到x)f(t)dt，则A(a)=0，且A'(x)=f'(x)(x-a)+f(x)-f(x)=f'(x)(x-a)>0，故
A(x)是严格递增函数，A(b)>0；
B(x)=积分(从x到b)f(t)dt-f(x)(b-x)，B(b)=0，B'(x)=-f(x)+f(x)+f'(x)(x-b)<0，
B(x)是严格递减函数，B(a)>0。

令F(x)=A(x)-2011*B(x)，则F(x)在[a，b]上连续，
F(a)=A(a)-B(a)=-B(a)<0，F(b)=A(b)-2011*B(b)=A(b)>0，
由连续函数介值定理，存在

c位于(a,b)，使得F(c)=0，即
A(c)=2011*B(c)。注意B(c)>0，故结论成立。

追问

谢谢。。我的做法不知道哪里有问题，你再帮我看看吧~
要证A(ξ)/B(ξ)=2011，即证A(ξ)=2011B(ξ)，两边求导A'(ξ)=2011B'(ξ)，然后A'(x)=f'(x)(x-a)+f(x)-f(x)=f'(x)(x-a），B'(x)=-f(x)+f(x)+f'(x)(x-b)，所以得到f'(x)(x-a）=2011f'(x)(x-b)，因为f'（x）>0，所以x=（2011b-a）/2010，即ξ=（2011b-a）/2010。。。可是这个ξ不在（a，b）之间。。。哪里有问题呢？

追答

即证A(ξ)=2011B(ξ)，两边求导A'(ξ)=2011B'(ξ)，
这一步有问题。A'(ξ)=2011B'(ξ)与题目结论既不是充分条件，也不是必要条件。
即使两个函数的导函数完全一样，这两个函数也可以不一样。
反之，两个函数在某一点相等，也不能得到这两个函数的导数是一样的。
简而言之，就是要证的等式跟A'(ξ)=2011B'(ξ)这个等式完全没有关系。
因此你不能指望通过证明了A'(ξ)=2011B'(ξ)来证明结论。

追问

也就是说两个函数在某点相等但他们的导数不一定在这点相等是吧？我知道了，谢谢~

追答

对。本题应该是用连续函数的介值定理来证，而不是用导函数完全相等来证。