Question

已知直线y=kx+b与x轴,y轴交于A,B两点,A坐标为(4,0),S△AOB=8,另有一个二次函数的图像过点A,B,

且对称轴为直线x=3，开口向下。
求一次函数的解析式与二次函数的解析式
另有一个二次函数的图像过点A,B, 这个二次函数的条件 包含一次函数的吗? 一次函数的两个解析式要舍去吗?理由想不通啊?

Answer 1

S△AOB=1/2︱OA︱*︱OB︱=8.OA=4
︱OB︱=4,
B1(0,4),B2(0,-4)
对称轴为直线x=3,开口向下,由对称性可知,图像过点A（4，0）， B(0,-4) ,C(2,0),
设二次函数的解析式为y=a(x-2)(x-4)开口向下
把B(0,-4)代入得
8a= -4
a= -1/2
y=a(x-2)(x-4)= -1/2(x-2)(x-4)= -1/2x^2+3x-4
二次函数的解析式为:
y=-1/2x^2+3x-4

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追问

另有一个二次函数的图像过点A,B, 这个二次函数的条件 包含一次函数的吗? 一次函数的两个解析式要舍去吗?理由想不通啊?

Answer 2

设一元二次方程的解析式为y=mx2+nx+c
直线y=kx+b与x轴,y轴交于A,B两点,A坐标为(4,0),S△AOB=8
所以得到B(0,4)或者(0,-4)
二次函数的图像过点A,B，且对称轴为直线x=3，开口向下
所以B(0,-4)
代入直线方程得到
0=4k+b -4=b k=1
直线方程为y=x-4
一元二次方程的两根为x1=2、x2=4
得到0=4m+2n+c
0=16m+4n+c
-4=c
n=3 m=-1/2
一元二次方程的解析式为y=-1/2x2+3x-4
一次函数就只有一组，过两点确定一次函数的解析式

Answer 3

因为S△AOB=8，所以，OB的长为4。由二次函数的图像对称轴为x=3开口向下，A到对称轴的距离为1，所以，抛物线交y轴于点B(0，-4)。因此，一次函数的解析式为y=x-4；
设二次函数的解析式为y=a(x-3)^2+c，分别将点A、B的坐标代入可求得a=-0.5，c=0.5，即二次函数的解析式为y=-0.5(x-3)^+0.5=-(x^2)/2+3x-4。

Answer 4

三角形另一边长为8*2/4=4，开口向下顾B点为（0，-4），
则一次函数为Y=X-4
函数关于X=3对称，设函数Y=AX^2+BX+C
则-B/2A=3
0=A4^2+B*4+C
-4=C
求的A=-1/2
B=3
C=-4
则二次函数为Y=-1/2x^2+3x-4