Question

求函数y=(x-1)e^arctanx 的单调区间及极值

Answer 1

y'=e^arctanx+(x-1)e^(arctanx)/(1+x^2)=e^arctanx((x^2+x)/(x^2+1))，定义域是R
e^arctanx>0，(x^2+1)>0，所以y'=0，即：x^2+x，解得：x=0或-1
当-1<x<0时，x^2+x<0，y'<0；当x<-1或x>0时，x^2+x>0，y'>0
所以函数的单调增区间是：(-inf,-1]∪[0,inf)；单调减区间是：[-1,0]

在x=-1的左侧临域内f'(x)>0，在x=-1的右侧临域内f'(x)<0
所以函数在x=-1处取得极大值：-2e^arctan(-1)=-2*e^(-pi/4)
在x=0的左侧临域内f'(x)<0，在x=0的右侧临域内f'(x)>0
所以函数在x=0处取得极小值：-e^arctan(0)=-e^(0)=-1

Answer 2

y'=e^arctanx+(x-1)e^(arctanx)/(1+x^2)=e^arctanx((x^2+x)/(x^2+1)),定义域是R
e^arctanx>0,(x^2+1)>0,所以y'=0,即：x^2+x,解得：x=0或-1
当-10
所以函数的单调增区间是：(-inf,-1]∪[0,inf)；单调减区间是：[-1,0]
在x=-1的左侧临域内f'(x)>0,在x=-1的右侧临域内f'(x)0
所以函数在x=0处取得极小值：-e^arctan(0)=-e^(0)=-1