Question

如图,以A为顶点的抛物线与y轴交与点B,已知A,B两点的坐标分别为（3，0）、（0，4）．

（1）求抛物线的解析式 （2）设M（m，n）是抛物线上的一点（m、n为正整数），且它位于对称轴的右侧。若雨M,B,O,A为定点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点M的坐标。（3）在（2）的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点P，PA²+Pb²+PM²＞28是否总成立？请说明理由。

Answer 1

B点在y轴上，坐标应该是（0,4）
(1)A点是顶点，位于对称轴上
所以 y = a(x-3)^2
将B点坐标代入可得： y = 4/9*(x-3)^2

(2) M点满足：n=4/9*(m-3)^2，m,n都是整数，所以m必然是3的倍数
OB=4，OA=3，M点位于对称轴右侧，所以必然MB>OB,MB>OA
所以四个连续的整数只有如下可能：
3，4，5，6
2，3，4，5
又：(m-3)^2+n^2=MA^2，m^2+(n-4)^2=MB^2
将以上可能代入此式可分析出只有一种可能：
m=6，n=4
OA=3,OB=4,MA=5,MB=6
所以点M坐标为（6，4）

(3)设p点坐标为：（3，y）
则PA²+Pb²+PM²
=y²+3²+(y-4)²+(3-6)²+(y-4)²
=3y²-16y+50
=3(y-8/3)²+28+2/3
>28祝你学习进步