Question

已知α,β是方程4x平方-4mx+m+2=0的两个实数根.当m为何值时,α平方+β平方有最小值?求出这个最小值.

韦达定理
α+β=-(-4m)/4=m
αβ=(m+2)/4
α平方+β平方=(α+β)平方-2αβ
=m^2-m/2-1
=(m^2-m/2+1/16)-17/16
=(m-1/4)^2-17/16
因为方程有实数根
所以判别式=(-4m)^2-4*4(m+2)>=0 m^2-m-2>=0
则m≤-1或m≥2
m=-1 m^2-m/2-1=1/2

m=2 m^2-m/2-1=2
所以 m=-1时α²+β²有最小值=1/2但最后为什么一定带-1呢？

Answer 1

m的取值范围由4x²-4mx+m+2=0有两个实数根确定，其范围为m≤-1或m≥2
α²+β²=(α+β)²-2αβ=m^2-m/2-1
α²+β²是关于m 的函数，它是开口向上，顶点为（1/4,-17/16）
它在m≤-1 单调减，在m≥2单调增
比较m=-1和m=2的情况，确定它的最小值。

追问

根据与对称轴的距离 得到 取-1时 得最小值是吧

Answer 2

什么东西一定要带-1啊？