Question

已知数列{an}的首项a1=5,前n项的和Sn.且Sn+1=2Sn+n+5(n属于N*)

如题（1）求证：{an+1}是等比数列
（2）求数列{an}的通项公式
（3）令f(x)=(a1+1)x+(a2+1)x^2+…+(an+1)x^n,求证f'(1)大于等于6 要详解谢谢

Answer 1

S(n+1)-Sn=Sn+n+5
a(n+1)=Sn+n+5
Sn=a(n+1)-n-5
Sn-S(n-1)=an=a(n+1)-n-5-an+n+5
2an=a(n+1)
a(n+1)/an=2
所以是首项为5，公比为2的等比数列

S(n+1)=2Sn+n+5
Sn=2S(n-1)+n+4
两式相减得 a(n+1)=2an+1，
即 a(n+1)+1=2(an+1)，
所以，｛an+1｝是首项为a1+1=6，公比为2的等比数列，
即 an+1=6*2^(n-1)=3*2^n，
所以，an=3*2^n-1

f'(x)=(a1+1)+2(a2+1)x+…+n(an+1)x^(n-1)

f'(1)=(a1+1)+2(a2+1)+…+n(an+1)
=(a1+2a2+3a3+.......nan)+(1+2+3+..........n)
=(3*2-1)+2(3*2^2-1)++n(3*2n-1)+(1+2+3.........+n)
=3(2+2*2^2+…+n*2^n)-(1+2+…+n)-(1+2+3.........+n)+(1+2+3.........+n)
=3[n*2^n+1-(2+…+2^n)]
=3[n×2^(n+1)-2^(n+1)+2]
=3(n-1)*2^(n+1)+6
N属于N星星 所以前边3(n-1)*2^(n+1)≥0 再+6就≥6...证毕