Question

已知,在平面直角坐标系xOy中,A(-3,0),B(0.-5)。

（1）如图1，若以A点为顶点作长方形AOBC，直线y=-x+m恰好将长方形AOBC分成面积相等的两部分，求该直线的解析式。
（2）如图2，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰直角三角形ABD，求D点的坐标。
（3）如图3，P为y轴负半轴上的一个动点，当P在y轴负半轴从上往下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰三角形APE，过E作EF⊥x轴与点F,设OP的长为a，线段EF的长为b，则a-b的值是否为定值，请证明你的结论。

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Answer 1

(1)直线y= -x+m斜率为 -1, 设其与AC, OB的交点分别为D, E; ADEO, BEDC均为直角梯形, 面积相等, 则AD = BE
y= -x+m, 取x = -3, D(-3, 3 + m)
取x = 0, E(0, m)
AD = 0 - (3+m) = -m - 3
BE = m + 5
-m -3 = m + 5
m = -4
y = -x - 4

(2)
AB² = 34

AB的斜率k = (-5 - 0)/(0 + 3) = -5/3
AD的斜率 = -1/k = 3/5
AD的解析式: y - 0 = (3/5)(x + 3), y = (3/5)(x + 3)
设D(d, (3/5)(d + 3))
DA² = AB² = 34 = (d + 3)² + [(3/5)(d + 3)]²
d + 3 = ±5
d = 2 (> 0, 舍去)
d = -8
D(-8, -3)

(3) 顶角未知，无法做。
如为等腰直角三角形，则做法与(2)类似