Question

已知，在三角形abc中，以ac边为直径的圆心o交于bc于d，

在劣弧AD上取得一点e使角EBC=角DEC，延长BE依次交Ac于G，交⊙o于H。(1)求证:AC⊥BH (2)若角ABC=45度，圆心o的直径等于10，BD=8，求CE的长。

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Answer 1

第一个问题：
∵A、E、D、C共圆，∴∠CED＝∠CAD，而∠CBG＝∠CED，∴∠CBG＝∠CAD。
由∠CBG＝∠CAD、∠BCG＝∠ACD，得：△BCG∽△ACD，∴∠BGC＝∠ADC。
∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠BGC＝90°，∴AC⊥BH。

第二个问题：
∵∠ADC＝90°、∠ABD＝45°，∴AD＝BD＝8，又AC＝10，∴CD＝√（AC^2－AD^2）＝6。
∵△BCG∽△ACD，∴BC/CE＝CE/CD，∴CE^2＝BC×CD＝（BD＋CD）CD＝14×6＝84，
∴CE＝2√21。