Question

关于求定积分问题！

对于e^(-(x-y)^2)对于y求积分,我怎么得到负根号pai呢？但是因为是平方项，所以e^(-(y-x)^2)就是根号pai?不太明白

Answer 1

∫(-∞,∞)e^(-(y-x)^2)dy t=y-x代入，这里x看做常数，因为是对y的积分
=∫(-∞,∞) e^(-t^2) d(t+x)
=∫(-∞,∞) e^(-t^2) dt
=根号 π （由已知得到）

Answer 2

因为对y积分，x看做常数
e^(-(x-y)^2)dy=e^(-(y-x)^2)d(y-x)
这样就和泊松积分的形式一样了

e^(-(y-x)^2)一定是正的，积分得到负数，一定是错的
仔细看看计算过程哪一步多（少）了负号

追问

e^(-(x-y)^2)dy= - e^(-(x-y)^2)d(x-y) 这俩个相等吧？ 那应该是负的啊?

追答

是对y从-无穷到+无穷积分
如果是对x-y积分，对应的上下线应该是从+无穷到-无穷
这个对换和前面的负号抵消

Answer 3

令u = x - y、du = - dy
∫[-∞→+∞] e^[- (x - y)²] dy
= ∫[+∞→-∞] e^(- u²) (- du)
= ∫[-∞→+∞] e^(- u²) du
= √π
lim[y→-∞] (x - y) = +∞
lim[y→+∞] (x - y) = -∞

换个位置的确好做些
∫[-∞→+∞] e^[- (x - y)²] dy
= ∫[-∞→+∞] e^[- (y - x)²] dy
令u = y - x、du = dy
= ∫[-∞→+⁵] e^(- u²) du
= √π

Answer 4

楼主你好
二重积分的极坐标变换
解：∫<0,+∞>e^(-x²)dx=∫<0,+∞>e^(-y²)dy
故(∫<0,+∞>e^(-x²)dx)²
=∫<0,+∞>e^(-x²)dx∫<0,+∞>e^(-y²)dy
=∫<0,+∞>∫<0,+∞>e^[-(x²+y²)]dxdy
=∫<0,2π>dθ∫<0,+∞>e^(-r²)rdr
=2π∫<0,+∞>e^(-r²)rdr
=-π∫<0,+∞>e^(-r²)d(-r²)
=-πe^(-r²)|<0,+∞>
=π
即∫<0,+∞>e^(-x²)dx=√π

望采纳，谢谢