Question

求证角度的几何题

三角形ABC，AE和CD分别是角A和角C的角平分线，交BC于E，交AB于D，AE和CD相交于F。若DF=EF,问角B度数是否为60度？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。
另外AE不等于CD

Answer 1

另外AE不等于CD——》AE不一定等于CD

F是角平分线交点，连结BF，得BF平分∠ABC

过F作内切圆，D'、E'为垂足,连结D'E'，BD'=BE'(只要证明BD'E'是等边三角形，就说明∠ABC=60º)

D'E'⊥BF(等腰三角形顶角的三线重合)

因为DF=FE,D'F=E'F(直角三角形DD'F,EE'F的斜边，一对直角边分别相等)

所以DD'=EE',(它们的另一对直角边当然相等，所以两者全等)

所以∠BEF=∠FEE'=∠D'DF=180º - ∠BDF =>∠BDF+∠BEF= 180º 。

∴∠DFE＝180°－∠B (四边形BDFE内角之和为360º)

∵∠AFC＋∠CAF＋∠ACF＝180°

而∠AFC＝∠DFE、∠CAF＝∠BAC/2、∠ACF＝∠ACB/2

∴∠DFE＋∠BAC/2＋∠ACB/2＝180°，

∴2∠DFE＋∠BAC＋∠ACB＝360°。

∴2（180°－∠B）＋∠BAC＋∠ACB＝360°，∴2∠B＝∠BAC＋∠ACB，

∴3∠B＝∠B＋∠BAC＋∠ACB＝180°，∴∠B＝60°。

追问

D'F和E'F可能都在DF和EF的内侧吗？

我觉得需要证明一下

追答

D'F和E'F不管在DF和EF的哪一侧，都是DF=FE,D'F=E'F。还有一个直角相等，所以不需要证明，这里没用到线段DD'和EE‘的加或减，所以在哪侧都不影响。

Answer 2

∠B＝60°。
［证明］
∵∠BAF＝∠CAF、∠BCF＝∠ACF，∴F是△ABC的内心，∴∠DBF＝∠EBF，又DF＝EF，
∴△BDF的外接圆、△DEF的外接圆是等圆，∴∠BDF、∠BEF相等或互补。

显然，若∠BDF＝∠BEF，则有：∠ADC＝∠AEC，∴A、D、E、C共圆。
由A、D、E、C共圆，∠DAE＝∠CAE，得：DE＝CE。
由A、D、E、C共圆，∠ECD＝∠ACD，得：DE＝AD，∴CE＝AD，∴∠CAE＝∠ACD，
∴AF＝CF，而EF＝DF，∴AF＋EF＝CF＋DF，∴AE＝CD，但AE、CD是不等的，
∴只能是∠BDF、∠BEF互补。

∵∠AFC＋∠CAF＋∠ACF＝180°，而∠AFC＝∠DFE、∠CAF＝∠BAC/2、∠ACF＝∠ACB/2，
∴∠DFE＋∠BAC/2＋∠ACB/2＝180°，∴2∠DFE＋∠BAC＋∠ACB＝360°。

∵∠BDF、∠BEF互补，∴B、E、F、D共圆，∴∠DFE＝180°－∠B，
∴2（180°－∠B）＋∠BAC＋∠ACB＝360°，∴2∠B＝∠BAC＋∠ACB，
∴3∠B＝∠B＋∠BAC＋∠ACB＝180°，∴∠B＝60°。

追问

△BDF的外接圆、△DEF的外接圆是等圆,这个如何得出？

追答

若两圆中，圆周角相等，所对的弦也相等，则这两个圆的半径相等，即为等圆。

追问

不太清楚这个定理，需要证明。还有等圆又怎么得出两个角相等或互补？