Question

导数与微分习题两道 求步骤 谢谢

Answer 1

^是次方
3) 可导首先要连续，x<0时，f=e^x连续，x>0时，ax+b连续
则要使x=0时连续，即lim(x→0)f(x)=f(0)=b
当x>0时，lim(x→0)f(x)=lim(x→0)(ax+b)=lim(x→0)b=b，满足
所以要保证x<0时，lim(x→0)f(x)=f(0)，即lim(x→0)e^x=f(0)
即e^0=b，则b=1
再考虑可导，x<0时，f’=e^x可导，x>0时，f'=a可导
则要使x=0时可导，即lim(x→0)f‘(x)=f’(0)=a
当x>0时，lim(x→0)f‘(x)=lim(x→0)a=a，满足
所以要保证x<0时，lim(x→0)f‘(x)=f‘(0)，即lim(x→0)e^x=f'(0)
即e^0=a，则a=1
所以a=b=1
4) 先看连续：
连续要求lim(x→0)f(x)=f(0)=0
当x<0时，lim(x→0)f(x)=即lim(x→0)sinx=sin0=0，满足
当x>0时，lim(x→0)f(x)=lim(x→0)(xsin(1/x))=lim(x→0)x*lim(x→0)sin(1/x)
=0*lim(x→0)sin(1/x)=0，满足
所以f在x=0处连续
再看可导：
可导要求lim(x→0)f‘(x)=f’(0)=cos0=1
当x<0时，lim(x→0)f‘(x)=lim(x→0)cosx=cos0=1，满足
当x>0时，lim(x→0)f'(x)=lim(x→0)(x*lnx*cos(1/x)+sin(1/x))
=lim(x→0)(x*lnx*cos(1/x))+lim(x→0)sin(1/x)
由于lim(x→0)(1/x)不存在（原因是左极限为-∞，右极限为∞，左右极限不相等）
所以lim(x→0)sin(1/x)也不存在，那整个lim(x→0)f'(x)就不存在了
所以f在x=0处不可导
总结一下，在x=0处，f连续但不可导