Question

将函数f(x)=1/x^2+5x+6展开成(x-4)的幂级数，并求展开式成立的区间

详细点，谢谢

Answer 1

利用常见函数的幂级数展开
1/(1-x) = Σ[n=(0,∝)] x^n，x∈(-1,1)

所以f(x)=1/(x^2+5x+6)
=1/[(x+2)(x+3)]
=1/(x+2) - 1/(x+3)
=1/[6+(x-4)] - 1/[7+(x-4)]
=(1/6) * 1/[1+(x-4)/6] - (1/7) * 1/[1+(x-4)/7]
=(1/6) * 1/[1-(-1)*(x-4)/6] - (1/7) * 1/[1-(-1)*(x-4)/7]
=(1/6) * Σ[n=(0,∝)] [(-1)*(x-4)/6]^n - (1/7) * Σ[n=(0,∝)] [(-1)*(x-4)/7]^n
=Σ[n=(0,∝)] (-1)^n * { (1/6)*[(x-4)/6]^n - (1/7)*[(x-4)/7]^n }
=Σ[n=(0,∝)] (-1)^n * [ (x-4)^n / 6^(n+1) - (x-4)^n / 7^(n+1) ]
=Σ[n=(0,∝)] (-1)^n * [ 1/6^(n+1) - 1/7^(n+1) ] * (x-4)^n
由(-1)*(x-4)/6∈(-1,1)，得x∈(-2,10)
由(-1)*(x-4)/7∈(-1,1)，得x∈(-3,11)
所以x∈(-2,10)
综上所述，f(x) = 1/(x^2+5x+6) = Σ[n=(0,∝)] (-1)^n * [ 1/6^(n+1) - 1/7^(n+1) ] * (x-4)^n，x∈(-2,10)

Answer 2

这类问题不用直接展开，要利用已知的展开式来间接展开。
f(x)=1/(x^2+5x+6)=1/(x+2) - 1/(x+3)
1/(x+2)=(1/6){1/[1+(x-4)/6]=(1/6){1+(x-4)/6+[(x-4)/6]²+[[(x-4)/6]³+.........}
1/(x+3)=(1/7){1/[1+(x-4)/7]=(1/7){1+(x-4)/7+[(x-4)/7]²+[[(x-4)/7]³+.........}
剩下的将两个式子加起来，同次幂的放在一起，你肯定会。