Question

设A是N阶矩阵，A=E+xyT,x与y都是Nx1矩阵，且xTy=2，求A的特征值与特征向量？

Answer 1

首先(xy^T)x=x(y^Tx)=x(x^Ty)^T=2x.
又x非零, 于是由Ax=Ex+(xy^T)x=3x, x是属于3的特征向量.
另一方面, 以y^T为系数矩阵的线性方程组y^Tz=0解空间维数为n-1(因为y的秩为1).
其解向量满足y^Tz=0, 故Az=Ez+(xy^T)z=z+x(y^Tz)=z.
于是y^Tz=0的解空间是A的属于1的特征子空间, 其中非零向量均为特征向量.
综合得A有特征值3和重数为n-1的特征值1, 对应特征向量分别如所述.

Answer 2

这个就是初等矩阵的性质啊：
1. 令u1 = y / ||y||₂，并将u1扩展成RN上的一个正交基U：U = [u1, u2, ..., uN]满足U' * U = E；
2. 首先：A * u1可被U线性表出：
A * u1 = [u1, u2, ..., uN] * [l11, l21, ..., ln1]^t
<=> u1' * A * u1 = u1' * (u1 + x * y' * u1) = 1 + ||y||₂ * u1' * x = 1 + y' * x = 1 + conj(x' * y) = 1 + 2 = 3 = l11；
其次：A * u2 = u2，A * u3 = u3，...， A * un = un。
3. 将2写成矩阵的形式即：
A * U = U * L
式中：L是一个下三角矩阵，且第1列为[l11, l21, ..., ln1]，其他对角元都为1。
于是：A的特征值即为l11 = 3和n - 1个1。
4. 对应1的右特征向量即为u2, u3, ..., un；
由于L对应3的右特征向量为q1 = [1; l21/2; ...; ln1 / 2]^t，那么有：
A * U * q1 = U * L * q1 = U * 3 * q1 = 3 * U * q1
即A对应3的右特征向量为U * q1。