Question

求x^2/(2x+1)的不定积分

Answer 1

解：令x^2/(2x+1)=(x/2)+A+[B/(2x+1)]
∴（x/2)+A+[B/(2x+1)]={(x^2)+[2A+(1/2)]x+(A+B)}/(2x+1)
∴2A+(1/2)=0，A+B=0
解之得：A=-1/4，B=1/4
∴ x^2/(2x+1)=(x/2)-(1/4)+[1/(8x+4)]
∴∫x^2/(2x+1)dx=∫{(x/2)-(1/4)+[1/(8x+4)}dx
=(x^2/4)-(x/4)+[ln(8x+4)]/8+C
=[2x^2-2x+ln(8x+4)]/8+C

Answer 2

x^2/(2x+1)
这种上面次数更高的多项式分式，就先做除法，
(x/2)-1/4
_________
2x+1| x^2
x^2+x/2
_________
-x/2
-x/2-1/4
_________
1/4
即
x^2/(2x+1)=x/2-1/4+1/[4(2x+1)]
原积分=∫x/2-1/4+1/[4(2x+1)] dx
=x^2/4-x/4+(1/8)ln|(2x+1)|+C

Answer 3

∫ x^2/(2x+1) dx 令2x+1=t x=(t-1)/2
=∫ (t-1)^2/4t d(t-1)/2
=1/8 ∫ (t+1/t-2) dt
=1/8(1/2t^2+lnt-2t)+C t=2x+1代入
=1/16(4x^2-4x-3+2ln(2x+1))+C