证明函数f(x,y)=(x^2+y^2)/(|x|+|y|)在(0,0)处连续,但fx(0,0)不存在

证明函数f(x,y)=(x^2+y^2)/(|x|+|y|)当(x,y)!=(0,0)。。。f(x,y)=0当(x,y)=(0,0)在原点处连续但是在原点关于x的偏导数不... 证明
函数f(x,y)= (x^2+y^2) / (|x|+|y|) 当(x,y)!= (0,0) 。。。f(x,y) = 0 当(x,y)=(0,0)
在原点处连续但是在原点关于x的偏导数不存在
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lomn22
推荐于2020-02-04
知道答主
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把X=0带入 求y偏导数 同理求x 因为有绝对值 所以都是正负x或y 所以偏导不存在
证明连续 可以从可微来证
824341388
2012-12-25 · 超过19用户采纳过TA的回答
知道答主
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人家说了好不好。f(0,0)=0。前面那个(!=)是≠。
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zhufaquan88
2012-12-25 · TA获得超过670个赞
知道小有建树答主
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怀疑你题抄错了,或者没抄全,连f(0,0)这儿函数没有意义的点都没说明等于几,怎么证连续?(x,y)!这又是什么?
追问
二楼正解
追答
呵呵,孤陋寡闻了,不过他倒是给做出来啊。
还是我来吧,上面是错的,偏导数都不存在,哪来的全微分,真是…
用偏导数定义证明f对x的偏导数=lim(x→x0)[f(x,y0)-f(x0,y0)]/(x-x0)=lim(x→0)f(x,0)/x=lim(x→0)x^2/|x|x
当x→0+时,原式=1,当x→0-时,原式=-1,所以当x→0时,极限不存在,偏导数不存在。
接着给你证连续。还是用定义证
lim(x→0,y→0)f(x,y)=lim(x^2+y^2)/(|x|+|y|)=limx^2/(|x|+|y|)+limy^2/(|x|+|y|)
|y|>=0,lim(x→0)x^2/|x|=0,所以limx^2/(|x|+|y|)=0,同理可证limy^2/(|x|+|y|)=0
lim(x→0,y→0)f(x,y)=f(0,0),函数连续。
证毕、
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