Question

证明函数f(x,y)=(x^2+y^2)/(|x|+|y|)在(0,0)处连续,但fx(0,0)不存在

证明
函数f(x,y)= (x^2+y^2) / (|x|+|y|) 当（x,y）!= (0,0) 。。。f(x,y) = 0 当(x,y)=(0,0)
在原点处连续但是在原点关于x的偏导数不存在

Answer 1

把X=0带入 求y偏导数 同理求x 因为有绝对值 所以都是正负x或y 所以偏导不存在
证明连续 可以从可微来证

Answer 2

人家说了好不好。f(0,0）=0。前面那个（！=）是≠。

Answer 3

怀疑你题抄错了，或者没抄全，连f（0,0）这儿函数没有意义的点都没说明等于几，怎么证连续？（x,y）!这又是什么？

追问

二楼正解

追答

呵呵，孤陋寡闻了，不过他倒是给做出来啊。
还是我来吧，上面是错的，偏导数都不存在，哪来的全微分，真是…
用偏导数定义证明f对x的偏导数=lim(x→x0)[f(x,y0)-f(x0,y0)]/(x-x0)=lim(x→0)f(x,0)/x=lim(x→0)x^2/|x|x
当x→0+时，原式=1，当x→0-时，原式=-1，所以当x→0时，极限不存在，偏导数不存在。
接着给你证连续。还是用定义证
lim(x→0，y→0)f(x,y)=lim(x^2+y^2)/(|x|+|y|)=limx^2/(|x|+|y|)+limy^2/(|x|+|y|)
|y|>=0,lim(x→0)x^2/|x|=0，所以limx^2/(|x|+|y|)=0，同理可证limy^2/(|x|+|y|)=0
lim(x→0，y→0)f(x,y)=f(0,0)，函数连续。
证毕、