Question

已知双曲线C x^2/a^2 - y^2/b^2 =1 (a>0,b>0) 两个焦点F1,F2,

已知双曲线C x^2/a^2 - y^2/b^2 =1 (a>0,b>0) 两个焦点F1,F2,P为双曲线上一点,若 向量PF1 与 向量PF2 的数量积为0 且|PF1|=2|PF2|.
（1）求双曲线的离心率e;
（2）过点P作直线l 分别与双曲线的两条渐近线交于P1，P2两点，若向量OP1 与向量OP2 的数量积为-27/4, 2倍的向量PP1+向量PP2=0，求双曲线的方程。

请写出详细步骤，并被我讲一下，O(∩_∩)O谢谢~

Answer 1

（1）由向量PF1*向量PF2=0可知PF1⊥PF2，
直角三角形PF1F2中，|PF1|=2|PF2|,|F1F2|=2c
由勾股定理解得:|PF1|=4c/√5，|PF2|=2c/√5
根据双曲线第一定义，2a=|PF1|-|PF2|=2c/√5
∴a=c/√5,离心率e=c/a=√5
（2）由a=c/√5可知b=2c/√5,双曲线方程简化为4x²-y²=4c²/5
根据双曲线第二定义，双曲线上的点到焦点的距离等于到准线的距离乘以离心率
|PF1|=e(Xp+ a²/c)=eXp+a=4c/√5,
代入a=c/√5,e=√5得：Xp=3c/5，代入双曲线方程得Yp=4c/5（点P在第一象限)
设P1(x1,y1) ,P2坐标(x2,y2),
渐近线y=±bx/a=±2x,
∴y1=2x1,y2=-2x2
向量OP1*向量OP2=x1x1+y1y2=x1x2+(-2x2)*(2x1)=-3x1x2=-27/4
整理得到①：x1x2=9/4
2向量PP1+向量PP2=0 表示|PP2|/|PP1|=2,根据定比分点公式可得：
Xp=(x2+2x1)/3,Yp=(y2+2y1)/3,即：
②3c/5=(x2+2x1)/3,
③4c/5=(-2x2+4x1)/3
①②③联立解得c=√10,x1=3√10/4.x2=3√10/10
所以双曲线方程为4x²-y²=4c²/5=8,即x²/2 - y²/8 =1
此题颇费周折，请多加分！