Question

一道高等数学常微分应用题，求高手解答！急！！

设P(x,y)是连接A(1,0)和B(0,1)两点的一条向上凸曲线上的任意一点，已知曲线与弦AP之间的面积为x^3，求此曲线的方程。

Answer 1

解：（1）∵点M到点F（1，0）的距离比它到直线l：y=-2的距离小于1，
∴点M在直线l的上方，点M到F（1，0）的距离与它到直线l′：y=-1的距离相等，
∴点M的轨迹C是以F为焦点，l′为准线的抛物线，
所以曲线C的方程为x2=4y．
（2）当直线m的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意，
设直线m的方程为y-2=k（x-2），即y=kx+（2-2k），
代入x2=4y，得x2-4kx+8（k-1）=0，（*）
△=16（k2-2k+2）＞0对k∈R恒成立，
所以，直线m与曲线C恒有两个不同的交点，
设交点A，B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=4k，x1x2=8（k-1），
∵|AB|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2
=

(1+k2)[(x2+x1)-4x2x1]
=4

(1+k2)(k2-2k+2)
，

点O到直线m的距离d=
|2-2k|
1+k2
，

∴S△ABO=
1
2
|AB|•d=4|k-1|•

k2-2k+2
=4

(k-1)4+(k-1)2
，

∵S△ABO=4
2
，∴4

(k-1)4+(k-1)2
=4

2
，

∴（k-1）4+（k-1）2-2=0，
∴（k-1）2=1，或（k-1）2=-2（舍去），∴k=0，或k=2．
当k=0时，方程（*）的解为±2
2
，

若x1=2
2
，x2=-2

2
，则λ=

2+22
22-2
=3-2

2
，

若x1=-2
2
，x2=2

2
，则λ=

2+22
22-2
=3+2

2
，

当k=2时，方程（*）的解为4±2
2
，

若x1=4+2
2
，x2=4-2

2
，则λ=

-2-22
2-22
=3+2

2
，

若x1=4-2
2
，x2=4+2

2
，则λ=

-2+22
2+22
=3-2

2
，

所以，λ=3+2
2
，或λ=3-2

2 ．

Answer 2

“曲线与弦AP之间的面积为x^3”这个是关键
因为曲线向上凸，所以x^3=S曲线aop-S三角形ap
所以 ∫（x,1）f(x)dx-(1-x)f(x)/2=x^3
两边对x求导有，-f(x)-f'(x)/2+f(x)/2+xf'(x)/2=3x^2
再解出微分方程，且f（0）=1即可

Answer 3

设面积S（x）=x^3, 曲线方程f(x)

两点式求出直线AB：y=-x+1
S（x）=∫[f(x)-y]dx

即 x^3=∫[f(x)-（-x+1）]]dx
两边求导：3x^2=f(x)-（-x+1）
f(x)=3x^2-x+1

太久没接触过高数了，应该是这样的。。。

Answer 4

的