Question

边长为1的正方形内，两个扇形,一个半圆,求阴影面积.

Answer 1

三角形ABC和三角形ACD的3条边分别对应相等，所以△ABC≌△ACD

△ABC的面积：Sabc=1/4，所以四边形ABCD的面积：Sabcd=1/2

∠BAC=atan(1/2)，所以扇形ABED的面积：Sabed=(1/2)*1^2*(2atan(1/2))=atan(1/2)

所以弧边三角形BEDC的面积：Sbedc=Sabcd-Sabed=1/2-atan(1/2)

在△AEH中，AH=1/2，AE=1，EH=sqrt(3)/2。所以∠HEA=π/6，所以∠BAE=∠EAH=π/6

∠ABE=扇形ABE的面积：Sabe=(1/2)*1^2*π/6=π/12，△AEH的面积：Saeh=sqrt(3)/8

所以弧边四边形ABEH的面积：Sabeh=Sabe+Saeh=π/12+sqrt(3)/8

所以弧边三角形BCE的面积：Sbce=Sabch-Sabeh=1/2-(π/12+sqrt(3)/8)

所以弧边三角形CDE的面积：Scde=Sbedc-Sbce=(1/2-atan(1/2))-(1/2-(π/12+sqrt(3)/8))

=π/12+sqrt(3)/8-atan(1/2)

∠DCA=∠ACB=atan(2)，而∠ACH=atan(1/2)，所以∠DCJ=∠DCA-∠ACH=atan(2)-atan(1/2)

根据正切函数和差化积公式可算得：tan(∠DCJ)=3/4，即：∠DCJ=atan(3/4)

所以扇形CDJ的面积：Scdj=(1/2)*(1/2)^2*atan(3/4)=(1/8)*atan(3/4)

所以弧边三角形DEJ的面积：Sdej=Scdj-Scde=(1/8)*atan(3/4)-(π/12+sqrt(3)/8-atan(1/2))

=atan(1/2)+(1/8)atan(3/4)-π/12-sqrt(3)/8，而题目所求面积为Sdej的2倍

即：所求阴影面积：S=2*Sdej=2atan(1/2)+(1/4)atan(3/4)-π/6-sqrt(3)/4≈0.13(平方厘米)

扩展资料：

性质

1 、在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。

2 、在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理)。

3、 在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。

推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

4、 一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。

5、 在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。

6 、三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

7、 在一个直角三角形中，若一个角等于30度，则30度角所对的直角边是斜边的一半。

8、直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。

Answer 2

好题目，够难的！

 

 

为看得清楚，只画出一个扇形，做如图3条辅助线。

为保持做法的一致性，本人力争不去求解方程，即不求交点坐标。

三角形ABC和三角形ACD的3条边分别对应相等，所以△ABC≌△ACD

△ABC的面积：Sabc=1/4，所以四边形ABCD的面积：Sabcd=1/2

∠BAC=atan(1/2)，所以扇形ABED的面积：Sabed=(1/2)*1^2*(2atan(1/2))=atan(1/2)

所以弧边三角形BEDC的面积：Sbedc=Sabcd-Sabed=1/2-atan(1/2)

 

在△AEH中，AH=1/2，AE=1，EH=sqrt(3)/2。所以∠HEA=π/6，所以∠BAE=∠EAH=π/6

∠ABE=扇形ABE的面积：Sabe=(1/2)*1^2*π/6=π/12，△AEH的面积：Saeh=sqrt(3)/8

所以弧边四边形ABEH的面积：Sabeh=Sabe+Saeh=π/12+sqrt(3)/8

所以弧边三角形BCE的面积：Sbce=Sabch-Sabeh=1/2-(π/12+sqrt(3)/8)

所以弧边三角形CDE的面积：Scde=Sbedc-Sbce=(1/2-atan(1/2))-(1/2-(π/12+sqrt(3)/8))

=π/12+sqrt(3)/8-atan(1/2)

 

∠DCA=∠ACB=atan(2)，而∠ACH=atan(1/2)，所以∠DCJ=∠DCA-∠ACH=atan(2)-atan(1/2)

根据正切函数和差化积公式可算得：tan(∠DCJ)=3/4，即：∠DCJ=atan(3/4)

所以扇形CDJ的面积：Scdj=(1/2)*(1/2)^2*atan(3/4)=(1/8)*atan(3/4)

 

所以弧边三角形DEJ的面积：Sdej=Scdj-Scde=(1/8)*atan(3/4)-(π/12+sqrt(3)/8-atan(1/2))

=atan(1/2)+(1/8)atan(3/4)-π/12-sqrt(3)/8，而题目所求面积为Sdej的2倍

即：所求阴影面积：S=2*Sdej=2atan(1/2)+(1/4)atan(3/4)-π/6-sqrt(3)/4≈0.13(平方厘米)