Question

初学求助：用分布积分的方法求不定积分之，求In(x^2+1)的不定积分

我看了网上，别人提问的解答，过程如下：
∫ ln(x²+1) dx 分部积分
= x * ln(x²+1) - ∫ x * 2x/(x²+1) dx
= x * ln(x²+1) - 2 ∫ [1- 1/(x²+1)] dx
= x * ln(x²+1) - 2x + 2 arctanx + C
我们老师教的是: 例如要求∫xcosxdx
要设u=x， v'=cosx
则u'=1, v=sinx
根据公式∫uv'dx=uv-∫u'vdx
得到原式=xsinx+∫sinxdx
=xsinx+cosx+C
可是在我提问的这道题里，∫In(x^2+1)，我看不懂，哪个是u，哪个是v？？
求解答！！！谢谢！！！

Answer 1

设u = ln(x² + 1)，则u' = 2x/(x² + 1)

而v = x则，dv = 1

Answer 2

分部积分法：
∫ uv' dx = ∫ udv
= uv - ∫ vdu
= uv - ∫ vu' dx
在这里，u是比v更加复杂的函数

对于∫ ln(x² + 1) dx
这里是 ln(x² + 1) 和 1 这两个函数的乘积
明显前者比较复杂，所以
设u = ln(x² + 1)、则u' = 2x/(x² + 1)
而v' = 1、则v = x
所以∫ udv = ∫ ln(x² + 1) d(x)
= uv - ∫ vdu
= xln(x² + 1) - ∫ (x) d[ln(x² + 1)]
= uv - ∫ vu' dx
= xln(x² + 1) - ∫ (x) * 2x/(x² + 1) dx
= xln(x² + 1) - 2∫ x²/(x² + 1) dx

对于∫ xcosx dx
这里是 x 和 cosx 这两个函数的乘积
这里看似是cosx比较复杂的，但cosx却不是当u的，请看最下面的记忆法
因为u = x、u' = 1
而v' = cosx、v = sinx
∫ udv = ∫ (x) d(sinx)
= uv - ∫ vdu
= xsinx - ∫ (sinx) d(x)
= xsinx - ∫ sinx dx

如果你设u = cosx、u' = - sinx
而v' = x、v = x²/2
则∫ udv = ∫ (cosx) d(x²/2)
= (x²/2)(cosx) - ∫ (x²/2) d(cosx)
= (x²/2)(cosx) - ∫ (x²/2)(- sinx) dx
你可以看到这里非但没有将积分化简，反而变得更麻烦。

所以哪个应当u、哪个应当v也有个记忆法的：
逢是求导或求积分无限次都不会消失的函数
例如sinx，cosx，e^x等，这些都是优先当v'的
如果两个都是这类型的，
例如(e^x)sinx、(e^x)cosx等、则哪个当u或v'都可以。

Answer 3

都没分额
u=ln(x∧2+1)
v=x

Answer 4

u＝㏑（x ² 1），v ＝x （v＇＝1）