Question

如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，D是BC上一点，且AD=BD （1）试说明:三角形ABC相似

于三角形DBA;
（2）若BD等于三倍根号二，AB等于二倍根号六，求BC的长;
（3）若AD比BC等于1比三，求角C的度数。

Answer 1

第一个问题：
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB。
∵AD＝BD，∴∠DBA＝∠DAB，而∠ABC＝∠DBA，∴∠ACB＝∠DAB，∴△ABC∽△DBA。

第二个问题：
∵△ABC∽△DBA，∴BC/AB＝AB/BD，∴BC＝AB^2/BD＝（2√6）^2/（3√2）＝4√2。

第三个问题：
∵AD∶BC＝1∶3，∴AD/（BD＋CD）＝1/3，∴AD/（AD＋CD）＝1/3，∴AD/CD＝1/2。
∵∠ABC＝∠DAB，∴∠ADC＝2∠ABC＝2∠C，∴∠CAD＝180°－∠ADC－∠C＝180°－3∠C，
∴sin∠CAD＝sin3∠C。
由正弦定理，有：CD/sin∠CAD＝AD/sin∠C，∴sin∠C/sin3∠C＝AD/CD＝1/2，
∴2sin∠C＝sin3∠C＝3sin∠C－4（sin∠C）^3，∴4（sin∠C）^3＝sin∠C。
在△ABC中，∵∠B＝∠C，∴∠C是锐角，自然有：sin∠C＞0，∴4（sin∠C）^2＝1，
∴sin∠C＝1/2，∴∠C＝30°。