如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,D是BC上一点,且AD=BD (1)试说明:三角形ABC相似
于三角形DBA;(2)若BD等于三倍根号二,AB等于二倍根号六,求BC的长;(3)若AD比BC等于1比三,求角C的度数。...
于三角形DBA;
(2)若BD等于三倍根号二,AB等于二倍根号六,求BC的长;
(3)若AD比BC等于1比三,求角C的度数。 展开
(2)若BD等于三倍根号二,AB等于二倍根号六,求BC的长;
(3)若AD比BC等于1比三,求角C的度数。 展开
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第一个问题:
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB。
∵AD=BD,∴∠DBA=∠DAB,而∠ABC=∠DBA,∴∠ACB=∠DAB,∴△ABC∽△DBA。
第二个问题:
∵△ABC∽△DBA,∴BC/AB=AB/BD,∴BC=AB^2/BD=(2√6)^2/(3√2)=4√2。
第三个问题:
∵AD∶BC=1∶3,∴AD/(BD+CD)=1/3,∴AD/(AD+CD)=1/3,∴AD/CD=1/2。
∵∠ABC=∠DAB,∴∠ADC=2∠ABC=2∠C,∴∠CAD=180°-∠ADC-∠C=180°-3∠C,
∴sin∠CAD=sin3∠C。
由正弦定理,有:CD/sin∠CAD=AD/sin∠C,∴sin∠C/sin3∠C=AD/CD=1/2,
∴2sin∠C=sin3∠C=3sin∠C-4(sin∠C)^3,∴4(sin∠C)^3=sin∠C。
在△ABC中,∵∠B=∠C,∴∠C是锐角,自然有:sin∠C>0,∴4(sin∠C)^2=1,
∴sin∠C=1/2,∴∠C=30°。
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB。
∵AD=BD,∴∠DBA=∠DAB,而∠ABC=∠DBA,∴∠ACB=∠DAB,∴△ABC∽△DBA。
第二个问题:
∵△ABC∽△DBA,∴BC/AB=AB/BD,∴BC=AB^2/BD=(2√6)^2/(3√2)=4√2。
第三个问题:
∵AD∶BC=1∶3,∴AD/(BD+CD)=1/3,∴AD/(AD+CD)=1/3,∴AD/CD=1/2。
∵∠ABC=∠DAB,∴∠ADC=2∠ABC=2∠C,∴∠CAD=180°-∠ADC-∠C=180°-3∠C,
∴sin∠CAD=sin3∠C。
由正弦定理,有:CD/sin∠CAD=AD/sin∠C,∴sin∠C/sin3∠C=AD/CD=1/2,
∴2sin∠C=sin3∠C=3sin∠C-4(sin∠C)^3,∴4(sin∠C)^3=sin∠C。
在△ABC中,∵∠B=∠C,∴∠C是锐角,自然有:sin∠C>0,∴4(sin∠C)^2=1,
∴sin∠C=1/2,∴∠C=30°。
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