Question

如图，已知正方形abcd的边长是1，分别以a.b.c.d为圆心，以1为半径在正方形内部画弧，求阴影部分的面积

Answer 1

阴影部分的面积是4− 3− 2π3。

解：

依题意，如图

结合方程的思想

可得{4x+4y+z=12x+3y+z= π4

下求z的面积。

图中Z的面积可分为四个相同的弓形和正方形ABCD来求，如图。

如图，过A点作边长为1的正方形的一边的垂线，垂足为Q，作AH⊥OB于H，

∵OQ= 12，OA=1，

∴∠OAQ=30°，∴∠1=30°，

同理可得∠2=30°，

∴∠AOB=30°，

∴AH= 12OA= 12，OH=
3AH=32，

∴S△OAB= 12×AH×OB= 14，S扇形OAB= 30⋅π⋅12360= π12，∴S弓形AB=S扇形OAB−S△OAB= π12- 14，

在Rt△ABH中，BH=OB-OH=1− 32，AH= 12，

∴AB2=BH2+AH2=(1−32)2+( 12)2=2－ 3，

∴S正方形ABCD=2− 3，

∴图中Z的面积=4S弓形AB+S正方形ABCD=4×( π12− 14)+2− 3=1−3+ π3．

即z=1−3+ π3

由{4x+4y+z=1①2x+3y+z= π4②

①×3得，12x+12y+3z=3③

②×4得，8x+12y+4z=π④

③－④得，4x=3－π+z

∴4x=4−3− 2π3即所求阴影部分面积为4−3− 2π3

阴影部分的面积是4− 3− 2π3。

本题考查了面积、方程的思想：

设立未知数建立方程组，将形与数相结合；把不规则的几何图形的面积计算问题转化为规则几何图形的面积的和或差；掌握扇形的面积公式以及含30°的直角三角形三边的关系。

Answer 2

4①+4②+③＝1              [正方形]

2①+3②+③＝π/4          [直角扇形]

①+2②+③＝π/3-√3/4   [伊斯兰顶形]

解得③＝π/3-√3+1≈0.315﹙面积单位﹚