Question

大一高数极限问题，附图，求解~谢谢~

Answer 1

y=[(2^(1/x)+3^(1/x)+4^(1/x))/3]^(3x)
lny=3xln[(2^(1/x)+3^(1/x)+4^(1/x))/3]
limlny=lim{3xln[(2^(1/x)+3^(1/x)+4^(1/x))/3]}
=lim{3ln[(2^(1/x)+3^(1/x)+4^(1/x))/3]/[1/x]} x->∞
=lim{3/[(2^(1/x)+3^(1/x)+4^(1/x))/3]*[(2^(1/x)*ln2+3^(1/x)*ln3+4^(1/x)*ln4)]*(-1/x^2)/3/[-1/x^2]} 洛必达法则
=lim{3[(2^(1/x)*ln2+3^(1/x)*ln3+4^(1/x)*ln4)]/[(2^(1/x)+3^(1/x)+4^(1/x))]}
={3[1*ln2+1*ln3+1*ln4)]/[(1+1+1)]}
=ln2+ln3+ln4
=ln(2*3*4)
=ln24
左边=limy=lime^lny=e^limlny=e^ln24
右边=∫<a,+∞>e^(-x)dx=<a,+∞>[-e^(-x)]=e^(-a)
左边=右边 => e^ln24=e^(-a) => a=-ln24
∴选A